Satz von Borel und Harish-Chandra

In der Mathematik ist der Satz von Borel und Harish-Chandra ein Lehrsatz aus der Theorie der arithmetischen Gruppen.

Fundamentalbereich für $SL(2,\mathbb{Z})$ in $SL(2,ℝ)/SO(2)$ (in grau)

Er besagt, dass für eine halbeinfache algebraische Gruppe $G(\mathbb{Z})$ ein Gitter in $G(ℝ)$ ist, es also einen Fundamentalbereich endlichen Volumens für die Wirkung von $G(\mathbb{Z})$ auf $G(ℝ)$ gibt. Der Fundamentalbereich ist kompakt, wenn jedes unipotente Element in $G(\mathbb{Z})$ zum Radikal von $G(\mathbb{Q})$ gehört.

Aus dem Satz folgt, dass jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der Eins der umgebenden Lie-Gruppe ist. Insbesondere sind arithmetische Gruppen endlich erzeugt.

Ein klassisches, seit dem 19. Jahrhundert bekanntes Beispiel ist $SL(2,\mathbb{Z})\subset SL(2,ℝ)$ mit einem Fundamentalbereich endlichen Volumens.

Literatur

• A. Borel, Harish-Chandra. Arithmetic subgroups of algebraic groups. Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961), no. 6, 579–583. (PDF)