Hilbertsche Modulfläche

In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion

Sei $F$ ein reell quadratischer Zahlkörper, also $F=\mathbb{Q}(\sqrt{a})$ für eine quadratfreie natürliche Zahl $a$.

Sei ${𝒪}_F\subset F$ der Ganzheitsring von $F$, also ${𝒪}_F=\mathbb{Z}\left[x_a\right]$ mit $x_a=\sqrt{a}$ falls $a$ kongruent 2 oder 3 mod 4 und $x_a=\frac{1+\sqrt{a}}{2}$ falls $a$ kongruent 1 mod 4.

Seien $\{{\sigma }_{+},{\sigma }_{-}:{𝒪}_F\to ℝ\}$ die Einbettungen von ${𝒪}_F$, also

${\sigma }_{\pm }(m+n{x}_a)=m\pm n{x}_a$ für alle $m,n\in \mathbb{Z}$.

Die Abbildungen $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\sigma }_{\pm }(a_{11})& {\sigma }_{\pm }(a_{12})\\ {\sigma }_{\pm }(a_{21})& {\sigma }_{\pm }(a_{22})\end{array}\right)$ definieren Einbettungen ${\sigma }_{\pm }:SL(2,{𝒪}_F)\to SL(2,ℝ)$.

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von $SL(2,{𝒪}_F)$ unter der Einbettung

$({\sigma }_{+},{\sigma }_{-}):SL(2,{𝒪}_F)\to SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ)$.

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach $SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ)$ wirkt $SL(2,{𝒪}_F)$ dann auf ${ℍ}^2\times {ℍ}^2$, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn $\mathrm{\Gamma }\subset SL(2,{𝒪}_F)$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }({ℍ}^2\times {ℍ}^2)$ Hilbertsche Modulfläche und $\mathrm{\Gamma }$ Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe $\mathrm{\Gamma }\subset SL(2,{𝒪}_F)$ torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }({ℍ}^2\times {ℍ}^2)$ ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.

Zahlentheorie

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers $F$. Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von $F$. Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist $2{\zeta }_F(-1)$, wobei ${\zeta }_F$ die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers $F$ bezeichnet.