Choquet-Rand

Der Choquet-Rand, benannt nach Gustave Choquet, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra, der stets im Schilow-Rand enthalten ist.

Definition

Es sei $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $C(X)$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen $X\to ℂ$ mit der Supremumsnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Eine Funktionenalgebra über $X$ ist eine Unteralgebra $A\subset C(X)$, die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ gibt es ein $f\in A$ mit $f(x)=f(y)$.

Es sei weiter $\Vert \cdot \Vert$ eine Algebrennorm auf $A$, $A^{*}$ sei der zugehörige Dualraum und schließlich

$A_1^{*}:=\{f\in A\mid \Vert f\Vert =f(1)=1\}$

der sogenannte Zustandsraum von $A$, wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei, die ja definitionsgemäß in $A$ enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt. Dies ist eine konvexe, schwach-*-kompakte Menge in $A^{*}$ und besitzt daher nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Es sei $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}(A_1^{*})$ die Menge dieser Extremalpunkte.

Für jedes $x\in X$ ist die Punktauswertung ${\delta }_x:A\to ℂ,{\delta }_x(f):=f(x)$ offenbar ein Element aus $A_1^{*}$. Wir interessieren uns nun für diejenigen Punkte $x\in X$, für die ${\delta }_x$ sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist:

$\chi A:=\{x\in X\mid {\delta }_x\in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}(A_1^{*})\}$     heißt Choquet-Rand von $A$.

Ist $A$ eine beliebige kommutative Banachalgebra mit Einselement und ist $X_A$ ihr Gelfand-Raum, so definiert man $\chi A$ als den Choquet-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in $C(X_A)$. Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra $A$ auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra $C(X)$ realisiert, so muss $X$ nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von $A$ sein.

Der Choquet-Rand ist ein Rand

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Funktionenalgebra, gilt

• $\chi A=\mathrm{\varnothing }$, der Choquet-Rand ist nicht leer.
• $\chi A$ ist ein Rand für $A$
• $\overline{\chi A}=\partial A$, das heißt, der Choquet-Rand liegt dicht im Schilow-Rand.

Beziehung zum Bishop-Rand

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine G_δ-Menge.

Beispiele

• Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum, so ist $\chi C(X)=X$ und stimmt daher mit dem Schilow-Rand überein. Es gibt Beispiele für Räume $X$, für die der Bishop-Rand von $C(X)$ leer ist, z. B. $X=[0,1{]}^{ℝ}$.
• Das Standardbeispiel und Vorbild für die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra $A(𝔻)\subset C(𝔻)$ auf dem Einheitskreis $𝔻:=\{z\in ℂ\mid |z|\le 1\}$. Hier stimmen ebenfalls Choquet-Rand und Schilow-Rand überein und sind gleich dem topologischen Rand $\partial 𝔻:=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$.

X ist die Vereinigung aus Kreisscheibe und im Nullpunkt aufgesetzter Strecke

• Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Choquet-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei

$X:=𝔻\cup [0,1]\cdot e_3\subset {ℝ}^3$ mit der Relativtopologie.

$X$ ist ein kompakter Raum und $C(X)$ enthält die Funktionenalgebra

$A:=\{f\in C(X)\mid f{|}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(𝔻)}\text{ ist holomorph }\}$,

wobei $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(𝔻)$ das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand $\partial A$ zeigt man

$\partial A=\partial 𝔻\cup [0,1]\cdot e_3$.

Im Artikel zum Bishop-Rand wurde begründet, dass dieser gleich

$\partial 𝔻\cup (0,1]\cdot e_3=\partial A\setminus \{(0,0,0)\}$

ist. Nach obiger Beziehung zwischen Bishop-Rand und Choquet-Rand ist das aber auch gleich dem Choquet-Rand, der in diesem Beispiel also echt im Schilow-Rand enthalten ist. Wie nach obigem Satz nicht anders zu erwarten, ist hier $\overline{\chi A}=\partial A$.

Darstellende Maße

Der Choquet-Rand lässt sich durch sogenannte darstellende Maße charakterisieren, was die Verbindung zur Choquet-Theorie schlägt. Für einen kompakten Hausdorffraum $X$ sei $M(X)$ Banachraum der regulären komplexen Maße auf $X$ mit der totalen Variation als Norm. Ein Maß $\mu \in M(X)$ heißt ein darstellendes Maß für ein $\phi \in A^{*}$, falls

$\Vert \phi \Vert =\Vert \mu \Vert$   und   $\phi (f)=\underset{X}{\int }f(x)\mathrm{d}\mu (x)$   für alle   $f\in A$.

Ist zum Beispiel $\phi ={\delta }_x$, so ist das Einpunktmaß ${\epsilon }_x$ ein darstellendes Maß, denn

$\Vert {\delta }_x\Vert =1=\Vert {\epsilon }_x\Vert$   und   ${\delta }_x(f)=f(x)=\underset{X}{\int }f(y)\mathrm{d}{\epsilon }_x(y)$.

Es könnte aber weitere darstellende Maße geben. Ist zum Beispiel $A=A(𝔻)\subset C(𝔻)$ die Diskalgebra, so gilt für alle $f\in A(𝔻)$ nach der cauchyschen Integralformel

${\delta }_0(f)=f(0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial 𝔻}{\int }\frac{f(z)}{z}\mathrm{d}z=\underset{𝔻}{\int }f(z)\mathrm{d}\mu (z)$

mit einem auf $\partial 𝔻$ konzentrierten Maß $\mu$. In diesem Fall ist das darstellende Maß also nicht eindeutig. Ein ähnliches Argument zeigt, dass das darstellende Maß für kein ${\delta }_z,|z|<1$ eindeutig ist. Eine Eindeutigkeit des darstellenden Maßes liegt nur für Funktionale ${\delta }_z$ mit $|z|=1$ vor. Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall, genauer gilt folgender Satz:

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über $x\in X$ äquivalent:

• $x\in \chi A$
• Das darstellende Maß für ${\delta }_x$ ist eindeutig bestimmt.

Abgeschlossene Funktionenalgebren

Fordert man von der Funktionenalgebra $A\subset C(X)$ zusätzlich, dass diese bezüglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist, so sind folgende Aussagen über ein $x\in X$ äquivalent:

• $x\in \chi A$
• Zu $0<\alpha <\beta <1$ und jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f\in A$ mit $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$, $|f(x)|>\beta$ und $|f(y)|<\alpha$ für alle $y\in X\setminus U$.
• Zu jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f\in A$ mit $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$, $|f(x)|>\frac{3}{4}$ und $|f(y)|<\frac{1}{4}$ für alle $y\in X\setminus U$.
• Zu jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f\in A$ mit $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1=|f(x)|$ und $|f(y)|<1$ für alle $y\in X\setminus U$.
• Es gibt eine Familie $(f_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$ in $A$ mit $\{x\}=\bigcap _{\alpha \in I}\{y\in X\mid |f_{\alpha }(y)|=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\}$.

Anwendung

Mit Hilfe des Choquet-Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zurückgehenden Satz beweisen:

Es seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Funktionenalgebra. Ist $T:A\to A$ eine lineare uns surjektive Isometrie mit $T(1)=1$, so ist $T$ multiplikativ, das heißt, es gilt $T(fg)=T(f)T(g)$ für alle $f,g\in A$.

Das zentrale Argument im Beweis besteht darin, die Multiplikativität von Punktauswertungen ${\delta }_x$ für Punkte $x$ aus dem Choquet-Rand zu verwenden. Damit zeigt man, dass $T(fg)$ und $T(f)T(g)$ auf allen Punkten des Choquet-Randes übereinstimmen und daher gleich sein müssen, denn der Choquet-Rand ist ein Rand. Das ist im unten genannten Lehrbuch von R. Larsen ausgeführt.