Diskalgebra

Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition

Bezeichnet $𝔻:=\{z\in ℂ;|z|\le 1\}$ die Kreisscheibe, so sei $A(𝔻)$ die Menge aller stetigen Funktionen $f:𝔻\to ℂ$, die im Inneren ${𝔻}^{\circ }$ holomorph sind.

Die Definitionen

$\begin{array}{ccc}(\lambda f)(z)& :=& \lambda f(z)\\ (f+g)(z)& :=& f(z)+g(z)\\ (fg)(z)& :=& f(z)g(z)\\ (f^{*})(z)& :=& \overline{f(\stackrel{‾}{z})}\end{array}$,

wobei $\lambda \in ℂ,z\in 𝔻,f,g\in A(𝔻)$, machen $A(𝔻)$ zu einer komplexen Algebra mit Involution $*$. Diese wird Diskalgebra genannt.

Offenbar ist $A(𝔻)$ eine Unteralgebra der Funktionenalgebra $C(𝔻)$ der stetigen Funktionen $𝔻\to ℂ$. Die Diskalgebra $A(𝔻)$ ist bezüglich der Maximumsnorm, die $C(𝔻)$ zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. Der Funktionenraum $A(𝔻)$ ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt $\Vert f^{*}\Vert =\Vert f\Vert$ für alle $f\in A(𝔻)$. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von $H^{\mathrm{\infty }}$, der Banachalgebra aller auf ${𝔻}^{\circ }$ holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand $\partial 𝔻$ von $𝔻$ erhält man eine Abbildung $A(𝔻)\to C(\partial 𝔻),f\mapsto f{|}_{\partial 𝔻}$. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man $A(𝔻)$ auch als Unterbanachalgebra von $C(\partial 𝔻)$ auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer uniformen Algebra über $\partial 𝔻$. $A(𝔻)$ ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf $\partial 𝔻$, die sich holomorph nach ${𝔻}^{\circ }$ fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{𝔻}$ erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.

Der Gelfandraum

Für jedes $z\in 𝔻$ ist die Punktauswertung ${\delta }_z:A(𝔻)\to ℂ,f\mapsto f(z)$ ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums $X_{A(𝔻)}$ der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den ${\delta }_z$ bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung $\delta :𝔻\to X_{A(𝔻)},z\mapsto {\delta }_z$ ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf $X_a\subset A^{\prime }$ gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

Auf dem Gelfandraum $X_A$ einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

$\bar{E}:=\{\delta \in X_A;\ker (\delta )\supset \bigcap _{\phi \in E}\ker (\phi )\}$

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra. In der Tat ist bei der Identifikation $X_{A(𝔻)}=𝔻$ die Menge $E:=\{0\}\cup \{\frac{1}{n};n\in \mathbb{N}\}$ abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun $f\in \bigcap _{n\in \mathbb{N}}\ker ({\delta }_{\frac{1}{n}})$, so folgt $f(\frac{1}{n})=0$ für alle $n$, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt $f=0$. Daher ist $\bigcap _{\phi \in E}\ker (\phi )=\{0\}$ und es folgt $\bar{E}=X_A$ bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand

Identifiziert man $X_{A(𝔻)}$ mit $𝔻$, so fällt der topologische Rand $\partial 𝔻=\{z\in ℂ;|z|=1\}$ mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.

Maximalität

Wie oben erwähnt kann man $A(𝔻)$ mittels der Einschränkungsabbildung $f\mapsto f{|}_{\partial 𝔻}$ als Unterbanachalgebra von $C(\partial 𝔻)$ auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass $A(𝔻)\subset C(\partial 𝔻)$ eine maximale Unterbanachalgebra ist.