Satz von Krein-Milman

Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage

Ist $E$ ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin $𝒞\subset E$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt $𝒞$ Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.

Der Beweis des Krein-Milman’schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.

Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird: Ist $𝒞\subset E$ eine kompakte, konvexe Menge und ist $T\subseteq 𝒞$ so beschaffen, dass $𝒞$ gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von $T$ ist, so sind im topologischen Abschluss von $T$ alle Extremalpunkte von $𝒞$ enthalten.

Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen, wo mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vorliegen.

Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.

Anwendung

Der Banachraum $c_0$ der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index $m\in \mathbb{N}$ mit $|x_m|<\frac{1}{2}$, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun $h=(h_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert durch $h_n=0$ für $n\ne m$ und $h_m=\frac{1}{2}$, so sind $\Vert x+h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1$ und $\Vert x-h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1$ und $x=\frac{1}{2}(x+h)+\frac{1}{2}(x-h)$, das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt $x$ der Einheitskugel ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von $c_0$ keine Extremalpunkte und $c_0$ kann daher kein Dualraum sein.

Siehe auch

• Choquet-Theorie
• Krein-Milman-Eigenschaft
• Satz von Russo-Dye

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
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