Komplexes Maß

Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertemenge die komplexen Zahlen zu, d. h.

$\mu :𝒜\to ℂ$

für ein Mengensystem $𝒜$.

Definition

Sei $\mathrm{\Omega }$ eine nichtleere Menge und $𝒞\subseteq 2^{\mathrm{\Omega }}$ eine Teilmenge der Potenzmenge von $\mathrm{\Omega }$ mit $\mathrm{\varnothing }\in 𝒞$.

Eine Mengenfunktion $\nu$ von $𝒞$ in die komplexen Zahlen $ℂ$ heißt komplexes Maß, wenn

$\nu (\mathrm{\varnothing })=0$

und für jede disjunkte Familie $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ mit $A_i\in 𝒞$ und $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\in 𝒞$

$\nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\right)=\sum _{i\in \mathbb{N}}\nu (A_i)$

gilt, wobei die Reihe $\sum _{i\in \mathbb{N}}\nu (A_i)$ absolut konvergieren muss, das heißt $\sum _{i\in \mathbb{N}}|\nu (A_i)|<\mathrm{\infty }$. Letztere Eigenschaft wird auch als $\sigma$-Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem $𝒞$ eine σ-Algebra, dann ist $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i$ immer in $𝒞$ enthalten.

Eigenschaften

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

Siehe auch

• Signiertes Maß

Literatur

• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.