Formelsammlung Arithmetik

Notation

• Buchstaben am Anfang des Alphabets $(a,b,c,\dots )$ stehen für beliebige Zahlen.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets $(i,j,m,n,\dots )$ stehen für natürliche Zahlen.
• Buchstaben am Ende des Alphabets $(x,y,\dots )$ stehen für Variablen.
• Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
• Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

Grundrechenarten

Rechenoperationen

Addition

$a+b=c$   (Summand + Summand = Summe)

Subtraktion

$a-b=c$   (Minuend − Subtrahend = Differenz)

Multiplikation

$a\cdot b=c$   (Faktor · Faktor = Produkt)

Division

$a:b=c$   (Dividend : Divisor = Quotient)

Die Division durch null ist dabei nicht definiert.

Klammerregeln

$a+(b+c)=a+b+c$

$a+(b-c)=a+b-c$

$a-(b+c)=a-b-c$

$a-(b-c)=a-b+c$

Rechengesetze

Assoziativgesetze

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Kommutativgesetze

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Neutralität von $0$ und $1$

$a+0=0+a=a$

$a\cdot 1=1\cdot a=a$

Binomische Formeln

$(a+b{)}^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2$

$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Bruchrechnung

Bezeichnungen

Definition

$\frac{a}{b}=a:b$   (Zähler : Nenner)

Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.

Spezialfälle

• Stammbruch: $a=1$
• Echter Bruch: $a<b$
• Unechter Bruch: $a>b$
• Scheinbruch: $a=b\cdot c$ mit einer ganzen Zahl $c$
• Kehrbruch: $a$ und $b$ werden vertauscht

Rechenregeln

Vorzeichen

$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$

Erweitern und Kürzen

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$   für $c\ne 0$

Addition

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}$

Subtraktion

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d-c\cdot b}{b\cdot d}$

Multiplikation

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Division

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Prozentrechnung

Definitionen

$p\mathrm{\%}=\frac{p}{100}$   (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)

$p{}^0/{}_{00}=\frac{p}{1000}$   (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)

Prozentsätze häufig benutzter Anteile

Anteil am Grundwert	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{50}$	$\frac{1}{40}$	$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{11}$	$\frac{1}{10}$
Prozentsatz	1 %	2 %	2,5 %	4 %	5 %	6,25 %	≈6,67 %	≈8,33 %	≈9,09 %	10 %
Anteil am Grundwert	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{4}$
Prozentsatz	≈11,11 %	12,5 %	≈14,29 %	≈16,67 %	20 %	25 %	≈33,33 %	50 %	≈66,67 %	75 %

Elementare Rechenoperationen

Potenz

Definitionen

Natürlicher Exponent:

$a^n=\underset{n\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$   (Potenz = Basis hoch Exponent)

Negativer Exponent:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Rationaler Exponent:

$x=a^{m/n}\iff x^n=a^m$

Hierbei ist $a$ eine nichtnegative rationale Zahl und $m,n$ sind natürliche Zahlen.

Spezialfälle

$a^0=1$   für $a\ne 0$, siehe Null hoch null

$0^n=0$   für $n\ne 0$

Potenzgesetze

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$

$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.

Wurzel

Definition

$x=\sqrt[n]{a}\iff x^n=a$   (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)

Hierbei ist $a$ eine nichtnegative reelle Zahl und $n$ eine natürliche Zahl größer als eins

Spezialfälle

$\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}$   (Quadratwurzel)

$\sqrt[3]{a}$   (Kubikwurzel)

Wurzelgesetze

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a^{m-n}}$

Logarithmus

Definition

$x={\log }_{b}a\iff a=b^x$   (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)

Hierbei sind $a,b$ positive reelle Zahlen.

Spezialfälle

${\log }_{2}a=\mathrm{lb}a$   (binärer Logarithmus)

${\log }_{e}a=\ln a$   (natürlicher Logarithmus)

${\log }_{10}a=\lg a$   (dekadischer Logarithmus)

${\log }_{b}1=0$

${\log }_{b}b=1$

Logarithmengesetze

${\log }_b(a\cdot c)={\log }_{b}a+{\log }_{b}c$

${\log }_b\left(\frac{a}{c}\right)={\log }_{b}a-{\log }_{b}c$

${\log }_b\left(a^c\right)=c\cdot {\log }_{b}a$

${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$

Elementare Funktionen

Betrag

Definition

$|a|=\{\begin{array}{cc}a& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ 0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0\\ -a& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0\end{array}$

Eigenschaften

$|a|=0\iff a=0$

$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$

$|a+b|\le |a|+|b|$   (Dreiecksungleichung)

Vorzeichen

Definition

$\mathrm{sgn}(a)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ 0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0\\ -1& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0\end{array}$

Eigenschaften

$\mathrm{sgn}(a)=\frac{a}{|a|}$   für $a\ne 0$

$\mathrm{sgn}|a|=|\mathrm{sgn}a|$

$\mathrm{sgn}(a\cdot b)=\mathrm{sgn}(a)\cdot \mathrm{sgn}(b)$

Ab- und Aufrundung

Definitionen

$\lfloor a\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le a\}$   (Abrundung)

$\lceil a\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}\mid k\ge a\}$   (Aufrundung)

Eigenschaften

$\lfloor \lfloor a\rfloor \rfloor =\lceil \lfloor a\rfloor \rceil =\lfloor a\rfloor$

$\lceil \lceil a\rceil \rceil =\lfloor \lceil a\rceil \rfloor =\lceil a\rceil$

$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \le \lfloor a+b\rfloor \le \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1$

$\lceil a\rceil +\lceil b\rceil \ge \lceil a+b\rceil \ge \lceil a\rceil +\lceil b\rceil -1$

Gleichungen

Äquivalenzumformungen

Lösen von Gleichungen

$a=b\iff b=a$

$a=b\iff a+c=b+c$

$a=b\iff a-c=b-c$

$a=b\iff a\cdot c=b\cdot c$   für $c\ne 0$

$a=b\iff a:c=b:c$   für $c\ne 0$

$a=b\iff f(a)=f(b)$   für jede bijektive Funktion $f$

Lineare Gleichungen

Allgemeine Form

$a\cdot x=b$

Lösungen

$x=\frac{b}{a}$   falls $a\ne 0$

keine Lösung falls $a=0,b\ne 0$

unendlich viele Lösungen falls $a=0,b=0$

Quadratische Gleichungen

Allgemeine Form

$a{x}^2+bx+c=0$   mit $a\ne 0$

Diskriminante

$D=b^2-4ac$

Lösungen

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$   falls $D>0$

$x=-\frac{b}{2a}$   falls $D=0$

keine reelle Lösung falls $D<0$

Quadratische Ergänzung

$a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+(c-\frac{b^2}{4a})$

p-q-Form

$x^2+px+q=0$

Diskriminante

$D=\frac{p^2}{4}-q$

Lösungen

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$   falls $D>0$

$x=-\frac{p}{2}$   falls $D=0$

keine reelle Lösung falls $D<0$

Satz von Vieta

$p=-(x_1+x_2)$

$q=x_1\cdot x_2$

Algebraische Gleichungen

Allgemeine Form

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0=0$

Lösungen

$x_1,\dots ,x_n$ als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)

Zerlegung in Linearfaktoren

$a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)=0$

Polynomdivision

$p(x)=s(x)q(x)+r(x)$   wobei $\mathrm{grad}p\ge \mathrm{grad}q$

$\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{r(x)}{q(x)}$   wobei $\mathrm{grad}q\ge 0$

Ungleichungen

Äquivalenzumformungen

Lösen von Ungleichungen

$a<b\iff b>a$

$a<b\iff a+c<b+c$

$a<b\iff a-c<b-c$

$a<b\iff \{\begin{array}{cc}a\cdot c<b\cdot c& \text{falls}c>0\\ a\cdot c>b\cdot c& \text{falls}c<0\end{array}$

$a<b\iff \{\begin{array}{cc}a:c<b:c& \text{falls}c>0\\ a:c>b:c& \text{falls}c<0\end{array}$

$a<b\iff \{\begin{array}{cc}f(a)<f(b)& \text{falls}f\text{bijektiv streng monoton steigend ist}\\ f(a)>f(b)& \text{falls}f\text{bijektiv streng monoton fallend ist}\end{array}$

Die Umformungsregeln gelten analog auch für $\le ,\ge$.

Spezielle Ungleichungen

Dreiecksungleichung

$|a+b|\le |a|+|b|$   für alle $a,b$

Bernoullische Ungleichung

$(1+a{)}^n\ge 1+a\cdot n$   für $a\ge -1$ und $n=0,1,2,\dots$

Youngsche Ungleichung

$a\cdot b\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$   für $a,b\ge 0$ und $p,q>1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Ungleichungen bei Mittelwerten

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

$\sqrt[n]{a_1\cdot \dots \cdot a_n}\le \frac{1}{n}(a_1+\dots +a_n)$   für $a_1,\dots ,a_n\ge 0$ und $n=2,3,\dots$

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel

$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots +\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1\cdot \dots \cdot a_n}$   für $a_1,\dots ,a_n>0$ und $n=2,3,\dots$

Komplexe Zahlen

Algebraische Form

Darstellung

$z=a+b\cdot \mathrm{i}$   mit Realteil $a$, Imaginärteil $b$ und der imaginären Einheit $\mathrm{i}$

$\overline{z}=a-b\cdot \mathrm{i}$   (Komplexe Konjugation)

Potenzen der imaginären Einheit

${\mathrm{i}}^0=1$

${\mathrm{i}}^1=\mathrm{i}$

${\mathrm{i}}^2=-1$

${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$

Allgemein für $n\in \mathbb{Z}$:

${\mathrm{i}}^{4n}=1$

${\mathrm{i}}^{4n+1}=\mathrm{i}$

${\mathrm{i}}^{4n+2}=-1$

${\mathrm{i}}^{4n+3}=-\mathrm{i}$

Arithmetische Operationen

$(a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d)$

$(a+\mathrm{i}b)-(c+\mathrm{i}d)=(a-c)+\mathrm{i}(b-d)$

$(a+\mathrm{i}b)\cdot (c+\mathrm{i}d)=ac-bd+\mathrm{i}(ad+bc)$

$(a+\mathrm{i}b):(c+\mathrm{i}d)=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\mathrm{i}\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$   für $c^2+d^2\ne 0$

Polarform

Darstellung

$z=r\cdot (\cos (\phi )+\mathrm{i}\cdot \sin (\phi ))$   mit dem Betrag $r$ und dem Argument $\phi$

Betrag

$r=|z|=\sqrt{z\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$

Argument

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b\ge 0\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b<0\\ \pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b>0\\ -\pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b<0\end{array}$

oder

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arccos \frac{a}{r}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b\ge 0\\ \arccos (-\frac{a}{r})-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b<0\end{array}$

Exponentialform

Darstellung

$z=r\cdot e^{\mathrm{i}\phi }$   mit der eulerschen Zahl $e$

$e^{\mathrm{i}\phi }=\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi$   (Eulersche Formel)

Umrechnungsformeln

$\sin \phi =\frac{e^{\mathrm{i}\phi }-e^{-\mathrm{i}\phi }}{2\mathrm{i}}$

$\cos \phi =\frac{e^{\mathrm{i}\phi }+e^{-\mathrm{i}\phi }}{2}$

Arithmetische Operationen

$(r\cdot e^{\mathrm{i}\phi })\pm (s\cdot e^{\mathrm{i}\psi })=\sqrt{r^2+s^2\pm 2rs\cos (\phi -\psi )}\cdot e^{\mathrm{i}\mathrm{atan2}(r\sin \phi \pm s\sin \psi ,r\cos \phi \pm s\cos \psi )}$

$(r\cdot e^{\mathrm{i}\phi })\cdot (s\cdot e^{\mathrm{i}\psi })=(r\cdot s)\cdot e^{\mathrm{i}(\phi +\psi )}$

$(r\cdot e^{\mathrm{i}\phi }):(s\cdot e^{\mathrm{i}\psi })=(r:s)\cdot e^{\mathrm{i}(\phi -\psi )}$

Potenzen

$(r\cdot e^{\mathrm{i}\phi }{)}^n=r^n\cdot e^{\mathrm{i}n\phi }$

Wurzeln

$x^n=1\iff x=e^{2\pi \mathrm{i}k/n}$   für $k=0,1,\dots ,n-1$   (Einheitswurzeln)

$x^n=z\iff x=\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{(\mathrm{i}\arg (z)+2\pi \mathrm{i}k)/n}$   für $k=0,1,\dots ,n-1$

Summenformeln

Rechenregeln

$\sum _{i=1}^{n}c=n\cdot c$

$\sum _{i=m}^{n}c=(n-m+1)\cdot c$

$\sum _{i=m}^{n}c\cdot a_i=c\cdot \sum _{i=m}^n{a}_i$

$\sum _{i=m}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=m}^n{a}_i+\sum _{i=m}^n{b}_i$

$\sum _{i=m}^n{a}_i=\sum _{i=m-r}^{n-r}{a}_{i+r}$

$\sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1})=a_n-a_0$   (Teleskopsumme)

Arithmetische Reihe

$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$   (Gaußsche Summenformel)

Geometrische Reihe

$\sum _{i=0}^{n-1}{k}^i=\frac{1-k^n}{1-k}$

Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \sum _{i=0}^{n-1}{k}^i& k^n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& k\end{array}\right)}^n$

Potenzsummen

$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.

Kombinatorische Summen

Binomischer Lehrsatz

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

Multinomialtheorem

${\left(\sum _{i=1}^k{a}_i\right)}^n=\sum _{n_1+\dots +n_k=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,\dots ,n_k})\cdot a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k}$

Ungleichungen bei Summen

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

${(\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot b_i)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)$   für alle $a_1,\dots ,a_n$ und $b_1,\dots ,b_n$

Tschebyscheff-Ungleichungen

$n\cdot (\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot b_i)\ge \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)$   für alle $a_1\ge \dots \ge a_n$ und $b_1\ge \dots \ge b_n$

$n\cdot (\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot b_i)\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)$   für alle $a_1\ge \dots \ge a_n$ und $b_1\le \dots \le b_n$

Minkowski-Ungleichung

${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}$   für alle $a_1,\dots ,a_n$ und $b_1,\dots ,b_n$ sowie $p\ge 1$

Hölder-Ungleichung

$\sum _{i=1}^n|a_i\cdot b_i|\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q)}^{1/q}$   für alle $a_1,\dots ,a_n$ und $b_1,\dots ,b_n$ sowie $p,q\ge 1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Jensensche Ungleichung

$f(\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot b_i)\le \sum _{i=1}^n{a}_i\cdot f(b_i)$   für jede konvexe Funktion $f$, $a_1,\dots ,a_n\ge 0$ mit $a_1+\dots +a_n=1$ und alle $b_1,\dots ,b_n$

Literatur

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