Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen

(x + y)^{n}, n \in ℕ

als Polynom $n$ -ten Grades in den Variablen $x$ und $y$ auszudrücken. Die Bezeichnung rührt vom Ausdruck Binom, welches hier $x + y$ ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n \in ℕ_{0}$ gilt

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} (1)

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$ (mit der Konvention $0^{0} = 1$ ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

(\binom{n}{k}) = \frac{n \cdot (n - 1) \dots (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \dots k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme $(\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl $(\binom{n}{k})$ an das Ringelement $x^{n - k} y^{k}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $ℤ$ -Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n = 2$ heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente $x$ und $y$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. $x \cdot y = y \cdot x$ gilt.
Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

(x + y)^{n} = x^{n} + [\sum_{k = 1}^{n - 1} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}] + y^{n}

.

Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl $n$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.^[1] Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis.^[2] Für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

(x + y)^{3} = (\binom{3}{0}) x^{3} + (\binom{3}{1}) x^{2} y + (\binom{3}{2}) x y^{2} + (\binom{3}{3}) y^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

(x - y)^{3} = (\binom{3}{0}) x^{3} + (\binom{3}{1}) x^{2} (- y) + (\binom{3}{2}) x (- y)^{2} + (\binom{3}{3}) (- y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

(a + i b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} i^{k} = \sum_{\binom{k = 0,}{k gerade}}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{\frac{k}{2}} a^{n - k} b^{k} + i \sum_{\binom{k = 1,}{k ungerade}}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{\frac{k - 1}{2}} a^{n - k} b^{k}

, wobei

i

die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Vorlage:Hauptartikel Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten $α$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn $α$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lässt sich mithilfe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten $(\binom{α}{k})$ kompakt schreiben als

(x + y)^{α} = x^{α} {(1 + \frac{y}{x})}^{α} = x^{α} \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α}{k}) {(\frac{y}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α}{k}) x^{α - k} y^{k} . (2)

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x, y \in ℝ$ mit $x > 0$ und $| \frac{y}{x} | < 1$ .

Im Spezialfall $α \in ℕ$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x, y \in ℂ$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Trivia

Gelegentlich wird als wissenschaftlicher Witz die Entdeckung oder Erfindung des binomischen Lehrsatzes einem Herrn Binomi zugeschrieben.^[3]

Literatur

M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-533454-8, S. 28-36
Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31

Weblinks

Vorlage:Wikibooks Vorlage:Wikibooks

Binomischer Lehrsatz (Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion)
Binomischer Lehrsatz (Video, kombinatorischer Beweis)
Vorlage:MathWorld
The Binomial Theorem bei Khan Academy (Video, englisch)

Einzelnachweise

↑ Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31
↑ Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
↑ zum Beispiel in: Otto Forster und Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, S. 456.

[1] Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31

[2] Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55

[3] zum Beispiel in: Otto Forster und Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, S. 456.

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[3]

Binomischer Lehrsatz

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