Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte.

Aussage

Höldersche Ungleichung

Gegeben sei ein Maßraum $(X,𝒜,\mu )$ und messbare Funktionen

$f,g:X\to \overline{ℝ}$

Für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ und mit der Konvention ${\mathrm{\infty }}^p={\mathrm{\infty }}^{\frac{1}{p}}=\mathrm{\infty }$ definiert man

$H_p(f)={(\underset{X}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}$

und

$H_{\mathrm{\infty }}(f)=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|$

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, wobei $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ vereinbart ist, gilt

$H_1(fg)\le H_p(f)\cdot H_q(g)$

Man bezeichnet $q$ als den zu $p$ konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist ${ℒ}^p(X,𝒜,\mu )$ der Raum der $p$-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist $\Vert \cdot {\Vert }_p$ die Lp-Norm, so gilt für $f\in {ℒ}^p(X,𝒜,\mu ),g\in {ℒ}^q(X,𝒜,\mu )$ immer

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q$.

Spezialfälle

Schwarzsche Ungleichung

Wählt man als Maßraum $([a,b],ℬ([a,b]),\lambda )$, also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen $f,g\in {ℒ}^2([a,b],ℬ([a,b]),\lambda )$, so lautet die Hölder-Ungleichung mit $p=q=2$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|fg|\mathrm{d}\lambda \le {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f{|}^2\mathrm{d}\lambda )}^{\frac{1}{2}}\cdot {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g{|}^2\mathrm{d}\lambda )}^{\frac{1}{2}}$

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

Wählt man als Maßraum die endliche Menge $\{1,\dots ,n\}$, versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q},$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$. Für $p=q=2$ erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x{\Vert }_2\cdot \Vert y{\Vert }_2$

Höldersche Ungleichung für Reihen

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{b}_k|\le {(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|b_k{|}^q)}^{1/q}$.

für reelle oder komplexe Folgen $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}},(b_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$. Im Grenzfall $q=\mathrm{\infty }$ entspricht dies

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{b}_k|\le (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|)\cdot \underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }|b_k|$.

Verallgemeinerung

Es seien $p_j\in [1,\mathrm{\infty }],j=1,\dots ,m$ sowie $\frac{1}{r}:={\sum }_{j=1}^m\frac{1}{p_j}$ und $f_j\in L^{p_j}(S)$ für alle $j=1,\dots ,m$.

Dann folgt

$\prod _{j=1}^m{f}_j\in L^r(S)$

und es gilt die Abschätzung

${\Vert \prod _{j=1}^m{f}_j\Vert }_r\le \prod _{j=1}^m{\Vert f_j\Vert }_{p_j}.$

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls $(a_{i,j}{)}_{i\in \{1,2,\dots ,n\},j\in \{1,2,\dots ,m\}}$ eine Familie von $m$ Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und $({\lambda }_j{)}_{j\in \{1,\dots ,m\}}$ nicht-negative reelle Zahlen mit $\sum _{j=1}^m{\lambda }_j=1$ sind, so gilt

$\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{a}_{i,j}^{{\lambda }_j}\le \prod _{j=1}^m{\left(\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}\right)}^{{\lambda }_j}.$

Umgekehrte Höldersche Ungleichung

Es sei $g(x)\ne 0$ für fast alle $x\in S$.

Dann gilt für alle $r>1$ die umgekehrte Höldersche Ungleichung

$\underset{S}{\int }|f(x)g(x)|dx\ge {(\underset{S}{\int }|f(x){|}^{\frac{1}{r}}dx)}^r{(\underset{S}{\int }|g(x){|}^{-\frac{1}{r-1}}dx)}^{-(r-1)}.$

Beweise

Beweis der Hölderschen Ungleichung

Für $p=1,q=\mathrm{\infty }$ (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass $1<p,q<\mathrm{\infty }$ gilt. Ohne Einschränkung seien $\Vert f{\Vert }_p>0$ und $\Vert g{\Vert }_q>0$. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

$AB\le \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}$

für alle $A,B\ge 0$. Setze hierin speziell $A:=\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p},B:=\frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_q}$ ein. Integration liefert

$\frac{1}{\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q}\underset{S}{\int }|fg|\mathrm{d}\mu \le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über $m$ geführt. Der Fall $m=1$ ist trivial. Sei also nun $m\ge 2$ und ohne Einschränkung sei $p_1\le \cdots \le p_m$. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_m=\mathrm{\infty }.$ Dann ist $\frac{1}{r}={\sum }_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

$\Vert f_1\cdots f_m{\Vert }_r\le \Vert f_m{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert f_1\cdots f_{m-1}{\Vert }_r\le \Vert f_m{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert f_1{\Vert }_{p_1}\cdots \Vert f_{m-1}{\Vert }_{p_{m-1}}.$

Fall 2: $p_m<\mathrm{\infty }$. Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten $\frac{p_m}{p_m-r},\frac{p_m}{r}$ gilt

$\underset{S}{\int }|f_1\cdots f_{m-1}{|}^r|f_m{|}^r\mathrm{d}\mu \le {(\underset{S}{\int }|f_1\cdots f_{m-1}{|}^{\frac{r{p}_m}{p_m-r}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{p_m-r}{p_m}}{(\underset{S}{\int }|f_m{|}^{p_m}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{r}{p_m}},$

also $\Vert f_1\cdots f_m{\Vert }_r\le \Vert f_1\cdots f_{m-1}{\Vert }_{\frac{r{p}_m}{p_m-r}}\Vert f_m{\Vert }_{p_m}$. Nun ist ${\sum }_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}=\frac{1}{r}-\frac{1}{p_m}=\frac{p_m-r}{r{p}_m}$. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten Hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten $p:=r$ und $q:=r^{\prime }=\frac{p}{p-1}$ wählt. Man erhält damit:

$\underset{S}{\int }|f{|}^{\frac{1}{r}}\mathrm{d}\mu =\underset{S}{\int }(|fg{|}^{\frac{1}{r}}\cdot |g{|}^{-\frac{1}{r}}\mathrm{d}\mu )\le {(\underset{S}{\int }|fg|\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{r}}{(\underset{S}{\int }|g{|}^{-\frac{r^{\prime }}{r}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{r^{\prime }}}.$

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit $r$ liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im $L^p$) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien $f\in L^{p_0}(S)\cap L^{p_1}(S)$ und $1\le p_1\le p\le p_0$, dann folgt $f\in L^p(S)$ und es gilt die Interpolationsungleichung

$\Vert f{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_{p_0}^{1-\theta }\Vert f{\Vert }_{p_1}^{\theta }$

mit $\frac{1}{p}=:\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1}$ beziehungsweise $\theta :=\frac{p_1}{p}\frac{p_0-p}{p_0-p_1}$ für $p_0\ne p_1$.

Beweis: Ohne Einschränkung sei $p_1<p<p_0$. Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere $\lambda \in (0,1)$ mit $p=\lambda p_0+(1-\lambda )p_1$. Dies ist möglich, da $p_0<p<p_1$und $p$ somit auf der Verbindungsstrecke zwischen $p_0$ und $p_1$ liegt. Beachte, dass $\frac{1}{\lambda }$ und $\frac{1}{1-\lambda }$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

$\underset{S}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu =\underset{S}{\int }|f{|}^{\lambda p_0}|f{|}^{(1-\lambda )p_1}\mathrm{d}\mu \le {(\underset{S}{\int }|f{|}^{p_0}\mathrm{d}\mu )}^{\lambda }{(\underset{S}{\int }|f{|}^{p_1}\mathrm{d}\mu )}^{1-\lambda }$.

Potenzieren der Ungleichung mit $\frac{1}{p}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

$\Vert f\star g{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$

für $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r}$ und $p,q,r\ge 1$.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
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