Symmetrisches Produkt

Das symmetrische Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine wichtige Konstruktion, welche symmetrische Gruppen und Produkte kombiniert. Eine zentrale Anwendung ist die Verbindung von Homotopie- und Homologiegruppen durch den Satz von Dold-Thom.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum, dann wirkt die symmetrische Gruppe ${\mathrm{Sym}}_n$ auf dem Produkt $X^n$ durch Permutation der Einträge. Es sei:

${\mathrm{SP}}_n(X):=X^n/{\mathrm{Sym}}_n.$

Für die Wahl eines Punktes $x\in X$ gibt es kanonische Einbettungen $X^n\hookrightarrow X^{n+1}$ durch Hinzufügen dieses Punktes, welche als kanonische Einbettungen ${\mathrm{SP}}_n(X)\hookrightarrow {\mathrm{SP}}_{n+1}(X)$ wohldefiniert sind. Bei zusammenhängenden Räumen ist die genaue Wahl nicht relevant. Nun ist das symmetrische Produkt der induktive Limes:

$\mathrm{SP}(X):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{SP}}_n(X).$

Eigenschaften

• ${\mathrm{SP}}_n([0,1])$ ist genau der $n$-Simplex ${\mathrm{\Delta }}^n$.
• ${\mathrm{SP}}_2(S^1)$ ist das Möbiusband.
• ${\mathrm{SP}}_n(S^1)$ kann mit den Konjugationsklassen der unitären Gruppe $\mathrm{U}(n)$ identifiziert werden.
• ${\mathrm{SP}}_2(S^n)$ ist der Abbildungskegel einer stetigen Abbildung ${\mathrm{\Sigma }}^nℝP^{n-1}\to S^n$.
• $\mathrm{SP}(S^2)$ ist der unendliche komplexe projektive Raum $ℂP^{\mathrm{\infty }}$.
• Satz von Dold-Thom: Reduzierte singuläre Homologie faktorisiert als entsprechende Homotopiegruppe des symmetrischen Produktes über zusammenhängenden CW-Komplexen. Für einen zusammenhängenden CW-Komplex $X$ gilt also:

  ${\tilde{H}}_n(X,\mathbb{Z})={\pi }_n\mathrm{SP}(X).$

Ein gutes Beispiel ist das vorherige Resultat $\mathrm{SP}(S^2)\cong ℂP^{\mathrm{\infty }}$, da $S^2$ nur ${\tilde{H}}_2(S^2,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ nichttriviale reduzierte singuläre Homologiegruppe hat und $ℂP^{\mathrm{\infty }}$ nur ${\pi }_2(ℂP^{\mathrm{\infty }})\cong \mathbb{Z}$ als einzige nichttriviale Homotopiegruppe hat. Allgemeiner bildet dadurch das symmetrische Produkt jeweils Moore-Räume auf Eilenberg-MacLane-Räume ab.

Siehe auch

• Konfigurationsraum, ähnliche Konstruktion mit zusätzlicher Entfernung von Tupeln mit Paaren gleicher Punkte

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur