Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume $E_n$ mit punktierten stetigen Abbildungen

${\sigma }_n:S{E}_n\to E_{n+1}$.

Hierbei bezeichnet $S{E}_n$ die reduzierte Einhängung von $E_n$.

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht ${\sigma }_n$ einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung $E_n\to \mathrm{\Omega }{E}_{n+1}$. Ein Spektrum ist ein $\mathrm{\Omega }$-Spektrum, wenn die Abbildungen $E_n\to \mathrm{\Omega }{E}_{n+1}$ Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die $\mathrm{\Omega }$-Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum $E_n$ durch ${\mathrm{colim}}_{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}^k{E}_{n+k}$ ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren $(E_n,{\sigma }_n)$ und $(E_n^{\prime },{\sigma }_n^{\prime })$ ist eine Familie stetiger Abbildungen $f_n:E_n\to E_n^{\prime }$ mit $f_{n+1}\circ {\sigma }_n={\sigma }_n^{\prime }\circ S{f}_n$ für alle $n$.

Beispiele

• Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum $X$ bildet $E_n:=S^{n}X$ mit den kanonischen Homöomorphismen ${\sigma }_n:S{E}_n\to E_{n+1}$ ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum ${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}X$ des Raumes $X$ bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form ${\mathrm{\Sigma }}^k{\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}X$ mit $k\in \mathbb{Z}$ als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum $E=(E_n,{\sigma }_n)$ mit ${\mathrm{\Sigma }}^{k}E$ das Spektrum $(E_{n+k},{\sigma }_{n+k})$ gemeint ist.
• Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der $0$-dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit $𝐒$ bezeichnet. In diesem Fall ist also $E_n=S^n$ und ${\sigma }_n:S{S}^n\to S^{n+1}$ der kanonische Homöomorphismus.
• Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe $G$ bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit $E_n=K(G,n)$ und ${\sigma }_n:SK(G,n)\to K(G,n+1)$ der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit $HG$ bezeichnet.
• Thom-Spektrum: Die Thom-Räume $Th({\tau }_n)$ der universellen Vektorbündel ${\tau }_n\to BO(n)$ über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten $BO(n)$ bilden ein Spektrum $MO(n)$. Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung $BO(n)\to BO(n+1)$ des Vektorbündels $({\tau }_n\oplus \underset{\_}{ℝ})\to BO(n)$ induzierte Abbildung ${\sigma }_n:SMO(n)=STh({\tau }_n)=Th({\tau }_n\oplus \underset{\_}{ℝ})\to Th({\tau }_{n+1})=MO(n+1).$
• Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch $E_{2n}=U,E_{2n+1}=\mathbb{Z}\times BU$ für alle $n\in \mathbb{N}$, wobei $U$ die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und $BU$ ihr klassifizierender Raum ist.
• $\mathrm{\Omega }$-Spektren: Sei $X$ ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert $E_n={\mathrm{\Omega }}^{-n}X$ ein $\mathrm{\Omega }$-Spektrum.
• Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring $R$ mit Eins ist $X=BG{L}^{+}(R)$, die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von $GL(R)$, ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein $\mathrm{\Omega }$-Spektrum.

Homotopiegruppen von Spektren

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch

${\pi }_k(E):={\mathrm{colim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{\pi }_{n+k}{E}_n$.

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums $E_n=S^{n}X$ werden als stabile Homotopiegruppen von $X$ bezeichnet:

${\pi }_k^s(X):={\pi }_k({\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}X)$.

Für $\mathrm{\Omega }$-Spektren gilt bereits ${\pi }_k(E)={\pi }_k(E_0)$.

Beispiele

• Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums $𝐒$.
• Die algebraische K-Theorie $K_i(R)$ eines kommutativen Ringes $R$ mit Eins erhält man für $i\ge 1$ per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
• Die Kobordismusgruppe unorientierter $n$-Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur $n$-ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

Äquivalenzen

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:

Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

${\tilde{E}}_k(X):=[{\mathrm{\Sigma }}^k𝐒,E\wedge X]$,

wobei $E\wedge X$ das mit Hilfe des Smash-Produktes durch $(E\wedge X{)}_n:=E_n\wedge X$ definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist ${\tilde{E}}_k(S^0)={\pi }_k(E)$.

Beispiel

$M{O}_k(X)$ ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer $k$-Mannigfaltigkeiten in $X$.

Verallgemeinerte Kohomologietheorien

Jedes Spektrum $E$ definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

${\tilde{E}}^k(X):={\mathrm{colim}}_{n\to \mathrm{\infty }}[S^{n}X,E_{n+k}]$

für topologische Räume $X$, wobei $[.,.]$ die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit $E^{*}(X)$ bezeichnet.

Beispiele

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum $K(G,n)$ definiert die singuläre Kohomologie $H^{*}(X;G)$, das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen $E^{*}$ eines Raumes $X$ können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen $E^{*}(X)$ konvergierende Spektralsequenz mit $E_2$-Term

$E_2^{pq}=H^p(X;E^q(X))$,

wobei $H^{*}(.;E^q(X))$ singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe $E^q(X)$ bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein $\mathrm{\Omega }$-Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt

Für ein Spektrum $E=(E_n,{\sigma }_n)$ und einen Raum $X$ definiert man das Spektrum $E\wedge X$ durch $(E\wedge X{)}_n:=E_n\wedge X$ und die Strukturabbildungen ${\mathrm{\Sigma }}_n\wedge i{d}_X$.

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren $E$ und $F$ ein Smash-Produkt $E\wedge F$ zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

• Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
• Es gibt natürliche Äquivalenzen $\alpha :(E\wedge F)\wedge G\to E\wedge (F\wedge G),\tau :E\wedge F\to F\wedge E,l:𝐒\wedge E\to E,r:E\wedge 𝐒\to E,\mathrm{\Sigma }:\mathrm{\Sigma }E\wedge F\to \mathrm{\Sigma }(E\wedge F)$.
• Für jedes Spektrum $E$ und jeden CW-Komplex $X$ gibt es eine natürliche Äquivalenz $e:E\wedge X\to E\wedge {\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}X$. Insbesondere ${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}(X\wedge Y)\simeq {\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}X\wedge {\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}Y$ für alle CW-Komplexe $X,Y$.
• Wenn $f:E\to F$ eine Äquivalenz ist, dann auch $f\wedge i{d}_G:E\wedge G\to F\wedge G$.
• Für eine Familie $\left\{E_{\mathrm{\Lambda }}\right\}$ von Spektra ist $\{i_{\mathrm{\Lambda }}\wedge i{d}_F\}:{\vee }_{\mathrm{\Lambda }}(E_{\mathrm{\Lambda }}\wedge F)\to ({\vee }_{\mathrm{\Lambda }}(E_{\mathrm{\Lambda }}))\wedge F$ eine Äquivalenz.
• Wenn $A\to B\to C$ eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch $A\wedge E\to B\wedge E\to C\wedge E$.

Ringspektren

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum $R$ mit einem Smash-Produkt $\wedge$ und mit Morphismen

$\mu :R\wedge R\to R,ϵ:𝐒\to R,$

$\alpha :R\wedge (R\wedge R)\to (R\wedge R)\wedge R,\lambda :𝐒\wedge R\to R,\rho :R\wedge 𝐒\to R$,

die den Bedingungen

$\mu \circ (\mu \wedge id)\circ \alpha =\mu \circ (id\wedge \mu ):R\wedge (R\wedge R)\to R$

$\mu \circ (ϵ\wedge id)=\lambda :𝐒\wedge R\to R,\mu \circ (id\wedge ϵ)=\rho :R\wedge 𝐒\to R$

genügen.

Literatur

• Spanier, E. H.; Whitehead, J. H. C.: A first approximation to homotopy theory. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39, (1953). 655–660. pdf
• Lima, Elon L.: Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math. 4 1960 193–251.
• Adams, J. F.: Stable homotopy and generalised homology. Reprint of the 1974 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. ISBN 0-226-00524-0

Weblinks

• Greenlees: Spectra for commutative algebraists
• Rognes: The sphere spectrum
• Malkiewich: The stable homotopy category
• Schwede: Symmetric spectra