Smash-Produkt

Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Es ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig.

Definition

Für zwei gegebene punktierte topologische Räume $(X,x_0)$ und $(Y,y_0)$ mit Basispunkten $x_0$ und $y_0$ betrachtet man zunächst den Produktraum $X\times Y$ mit der Identifizierung $(x,y_0)\sim (x_0,y)$ für alle $x\in X$ und alle $y\in Y$. Der Quotient von $X\times Y$ unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von $(X,x_0)$ und $(Y,y_0)$ und wird mit $X\wedge Y$ bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum $X$ mit $X\times \left\{y_0\right\}$ und $Y$ mit $\left\{x_0\right\}\times Y$ identifiziert, so schneiden sich $X$ und $Y$ in $(x_0,y_0)$ und das Wedge-Produkt $\vee$ (also ihre disjunkte Vereinigung) liefert den Unterraum $X\vee Y$ von $X\times Y$. Das Smash-Produkt ist dann der Quotient

$X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y$.

Beispiele

• Das Smash-Produkt von zwei Sphären $S^m$ und $S^n$ ist homöomorph zur Sphäre $S^{m+n}$. Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
• Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:

$\mathrm{\Sigma }X=S^1\wedge X$.

Eigenschaften

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig, in der es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homöomorphie und assioziativ bis auf Homotopie, das heißt $X\wedge (Y\wedge Z)$ und $(X\wedge Y)\wedge Z$ sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent.

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für $A$ lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

${\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}}_{\bullet }(X\wedge A,Y)\cong {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}}_{\bullet }(X,{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}}_{\bullet }(A,Y)),$

wobei $To{p}_{*}(A,Y)$ den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für $A$ den Einheitskreis $S^1$ nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung $\mathrm{\Sigma }$ links adjungiert zum Schleifenraum $\mathrm{\Omega }$ ist.