Plus-Konstruktion

Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

Konstruktion

Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex mit $H_1(X;\mathbb{Z})=0$. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\to X^{+}$, so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

$j_n:H_n(X;\mathbb{Z})\to H_n(X^{+};\mathbb{Z})$

für alle $n\in \mathbb{N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien ${\{e_i:S^1\to X\}}_{i\in I}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe ${\pi }_{1}X$. Durch Ankleben von 2-Zellen ${\left\{D_i\right\}}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_i:\partial D_i\to X$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{\prime }$. Die lange exakte Sequenz

$0\to H_2(X)\to H_2(X^{\prime })\to H_2(X^{\prime },X)\to 0=H_1(X)$

spaltet weil $H_2(X^{\prime },X)$ von den 2-Zellen ${\left\{D_i\right\}}_{i\in I}$ frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

$H_2(X^{\prime })=H_2(X)\oplus H_2(X^{\prime },X)$

und der Summand $H_2(X^{\prime },X)$ wird von den ${\left\{D_i\right\}}_{i\in I}$ erzeugt. Weil $X^{\prime }$ einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente $\left[D_i\right]\in H_2(X^{\prime })$ von der Form $(f_i{)}_{*}\left[S^2\right]$ für Abbildungen $f_i:S^2\to X^{\prime }$. (Hier bezeichnet $\left[S^2\right]\in H_2(S^2;\mathbb{Z})$ die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen ${\left\{E_i\right\}}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_i:\partial E_i\to X^{\prime }$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ mit $H_2(X^{+})=H_2(X)$. Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in $X$ haben, gilt $H_3(X^{+},X)=0$, und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt $H_{*}(X^{+},X)=0$ für $*\ge 4$. Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

Konstruktion im allgemeinen Fall

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex und $N\subset {\pi }_{1}X$ ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\to X^{+}$, so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

$j_{*}:{\pi }_{1}X\to {\pi }_1{X}^{+}$

die Quotientenabbildung ${\pi }_{1}X\to {\pi }_{1}X/N$ und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

$j_n:H_n(X;\mathbb{Z})\to H_n(X^{+};\mathbb{Z})$

für alle $n\in \mathbb{N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien ${\{e_i:S^1\to X\}}_{i\in I}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von $N$. Durch Ankleben von 2-Zellen ${\left\{D_i\right\}}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_i:\partial D_i\to X$ erhält man einen CW-Komplex $X^{\prime }$, so dass der durch die Inklusion $X\to X^{\prime }$ erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung ${\pi }_{1}X\to {\pi }_{1}X/N$ ist. Sei $\widetilde{X^{\prime }}$ die universelle Überlagerung von $X^{\prime }$ und $\tilde{X}\subset \widetilde{X^{\prime }}$ das Urbild von $X$, also ${\pi }_1\tilde{X}=N$ und (weil $N$ perfekt ist) $H_1(\tilde{X})=0$. Analog zu oben hat man einen Isomorphismus $H_2(\widetilde{X^{\prime }})=H_2(\tilde{X})\oplus H_2(\widetilde{X^{\prime }},\tilde{X})$ und der Summand $H_2(\widetilde{X^{\prime }},\tilde{X})$ ist der von den ${\left\{D_i\right\}}_{i\in I}$ erzeugte freie $\mathbb{Z}[{\pi }_{1}X/N]$-Modul. Weil $\widetilde{X^{\prime }}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es $\left[D_i\right]\in H_2(X^{\prime })$ realisierende Abbildungen $f_i:S^2\to X^{\prime }$ und durch Ankleben von 3-Zellen ${\left\{E_i\right\}}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_i:\partial E_i\to X^{\prime }$ erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ mit den gewünschten Eigenschaften.

Funktorialität

Es sei $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen und es seien $N_X\subset {\pi }_{1}X,N_Y\subset {\pi }_{1}Y$ perfekte Normalteiler mit $f_{*}(N_X)\subset N_Y$. Dann induziert $f$ eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung $f^{+}:X^{+}\to Y^{+}$.

Homotopiefaser

Sei $BG$ der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe $G$ und $N\subset G$ ein perfekter Normalteiler. Sei $F$ die Homotopiefaser der Plus-Konstruktion $BG\to B{G}^{+}$, dann ist ${\pi }_{1}F$ die universelle zentrale Erweiterung von $N$ und ${\pi }_2(B{G}^{+})=H_2(N;\mathbb{Z})$.

Algebraische K-Theorie

Vorlage:Hauptartikel Sei $R$ ein unitärer Ring, $GL(R)=\bigcup _{n\ge 0}GL(n,R)$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über $R$ und $BGL(R)$ der klassifizierende Raum von $GL(R)$, d. h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe $GL(R)$. Weil die Gruppe der Elementarmatrizen $E(R)=[GL(R),GL(R)]$ perfekt und ein Normalteiler ist, kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes $R$ ist definiert als

$K_i(R):={\pi }_i(BG{L}^{+}(R))$

für $i\ge 1$.

Beispiel: endliche Körper

Sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

$BGL(k{)}^{+}\simeq E{\mathrm{\Psi }}^q$,

wobei $E{\mathrm{\Psi }}^q$ die Faser der Abbildung

${\mathrm{\Psi }}^q-Id:BU\to BU$

(für ${\mathrm{\Psi }}^q$ die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von $E{\mathrm{\Psi }}^q$ können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

$K_{2i}(K)=0,K_{2i-1}(K)=\mathbb{Z}/(q^i-1)\mathbb{Z}$.

H-Raum

$BG{L}^{+}(R)$ ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung. Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung $BGL(R)\to H$ in einen H-Raum $H$ faktorisiert über $BG{L}^{+}(R)$.

Literatur

• Daniel Quillen: Cohomology of groups. Actes Congrès Internat. Math. , 2 , Gauthier-Villars (1973) S. 47–51 pdf
• Jonathan Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. Graduate Texts in Mathematics, 147. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-94248-3
• Charles Weibel: The K-book. An introduction to algebraic K-theory. Graduate Studies in Mathematics, 145. American Mathematical Society, Providence, RI, 2013. ISBN 978-0-8218-9132-2
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
• Jean-Claude Hausmann; Dale Husemoller: Acyclic maps. Enseign. Math. (2) 25 (1979), no. 1-2, 53–75

Weblinks

• Plus construction (Encyclopedia of Mathematics)
• Shah: The Quillen plus construction in algebraic K-theory
• Hausmann: Homology bordism and Quillen plus construction
• Friedlander: An introduction to K-theory