Thom-Raum

Der Thom-Raum oder Thom-Komplex, benannt nach René Thom, ist in der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein einem Vektorbündel zugeordneter topologischer Raum.

Konstruktion des Thom-Raums

Ein k-dimensionales reelles Vektorbündel $E$ über einem parakompakten Raum $B$ sei durch

$p:E\to B$

gegeben. Dann ist für jeden Punkt $b$ der Basis $B$ die Faser $F_b$ des Vektorbündels ein k-dimensionaler reeller Vektorraum. Ein zugehöriges Sphärenbündel $\mathrm{Sph}(E)\to B$ kann durch separate Einpunktkompaktifizierung jeder Faser gebildet werden. Aus dem Bündel $\mathrm{Sph}(E)$ erhält man den Thom-Komplex $T(E)$ indem alle neu hinzugefügten Punkte mit dem Punkt $\mathrm{\infty }$ identifiziert werden, dem Basispunkt von $T(E)$.

Thom-Isomorphismus

Die Bedeutung des Thom-Raums ergibt sich aus dem Satz über den Thom-Isomorphismus aus der Theorie der Faserbündel (hier mittels ${\mathbb{Z}}_2$-Kohomologie formuliert, um Komplikationen aus Orientierbarkeitsfragen zu vermeiden).

Mit $p:E\to B$ wird wie im vorigen Abschnitt ein reelles Vektorbündel bezeichnet. Dann gibt es einen Isomorphismus, den Thom-Isomorphismus

$\mathrm{\Phi }:H^i(B;{𝐙}_2)\to {\tilde{H}}^{i+k}(T(E);{𝐙}_2)$,

für alle $i\ge 0$, wobei die rechte Seite die reduzierte Kohomologie ist.

Der Isomorphismus lässt sich geometrisch als Integration über die Fasern interpretieren. Im Spezialfall eines trivialen Bündels ist $T(E)=S^k{B}_{+}$ die $k$-fache Einhängung der Basis und der Thom-Isomorphismus folgt aus dem Einhängungs-Isomorphismus ${\tilde{H}}^i(B)=H^{i+1}(SB)$. Der Thom-Isomorphismus gilt auch für verallgemeinerte Kohomologietheorien.

Der Satz wurde von René Thom in seiner Dissertation 1952 bewiesen.

Thom-Klasse

Thom gab auch eine explizite Konstruktion des Thom-Isomorphismus. Dieser bildet das neutrale Element von $H^{*}(B)$ auf eine Klasse $U$ in der $k$-ten Kohomologiegruppe des Thom-Raumes ab, die Thom-Klasse. Damit kann man für eine Kohomologieklasse $b$ in der Kohomologie des Basisraums den Isomorphismus über den Rückzug der Bündel-Projektion und das kohomologische Cup-Produkt berechnen:

$\mathrm{\Phi }(b)=p^{*}(b)⌣U.$

Thom zeigte in seiner Arbeit von 1954 weiter, dass die Thom-Klasse, die Stiefel-Whitney-Klassen und die Steenrod-Operationen miteinander verbunden sind. Weiter zeigte er, dass die Kobordismengruppen als Homotopiegruppen bestimmter Räume $MSO(n)$ berechnet werden können, die selbst als Thom-Räume konstruiert werden können. Sie bilden im Sinne der Homotopietheorie ein Spektrum $MSO$, genannt Thom-Spektrum. Das war ein wichtiger Schritt zur modernen stabilen Homotopietheorie.

Falls Steenrod-Operationen definiert werden können, kann man mit ihnen und dem Thom-Isomorphismus Stiefel-Whitney-Klassen konstruieren. Nach Definition sind die Steenrod-Operationen (mod 2) natürliche Transformationen

$S{q}^i:H^m(-;{𝐙}_2)\to H^{m+i}(-;{𝐙}_2)$,

definiert für alle natürlichen Zahlen $m$. Falls $i=m$ ist, stimmt Sqⁱ mit dem Quadrat des Cup überein. Die $i$-ten Stiefel-Whitney-Klassen $w_i(p)$ des Vektorbündels $p:E\to B$ sind dann gegeben durch:

$w_i(p)={\mathrm{\Phi }}^{-1}(S{q}^i(\mathrm{\Phi }(1)))={\mathrm{\Phi }}^{-1}(S{q}^i(U)).$

Literatur

• J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51182-0, S. 183–198 (Chicago Lectures in Mathematics Series).
• Dennis Sullivan: René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 41, 2004, S. 341–350, online .
• René Thom: Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. Sér. 3, 69, 1952, S. 109–182, online.
• René Thom, Quelques propriétés globales des variétés differentiables. In: Commentarii Mathematici Helvetici. 28, 1954, S. 17–86, online.