sl(2,R)

Vorlage:Dieser Artikel In der Mathematik ist die Lie-Algebra $𝔰𝔩(2,ℝ)$ der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.

Die $𝔰𝔩(2,ℝ)$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe $SL(2,ℝ)$. Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra $𝔰𝔩(2,ℂ)$.

Die Lie-Gruppe $SL(2,ℝ)$ hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Kommutator-Relationen

$𝔰𝔩(2,ℝ)$ ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen

$𝔰𝔩(2,ℝ)=\{A\in Mat(2,ℝ):\mathrm{Spur}(A)=0\}$

mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer.

Als Vektorraum wird sie von der Basis

$x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

aufgespannt: $𝔰𝔩(2,ℝ)=⟨\{x,y,h\}{⟩}_{ℝ}$. Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:

$[x,y]=h,[h,x]=2x,[h,y]=-2y$

Eigenschaften und Struktur

Einfachheit

$𝔰𝔩(2,ℝ)$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei $𝔞$ ein nichttriviales Ideal in $𝔰𝔩(2,ℝ)$ und sei $ax+bh+cy\in 𝔞\setminus 0$ mit $a,b,c\in ℝ$. Wenn $a=c=0$, dann $h\in 𝔞$, damit $2x=[h,x]\in 𝔞$ und $2y=[h,y]\in 𝔞$, also $𝔞=𝔰𝔩(2,ℝ)$. Also können wir $a=0$ oder $c=0$ annehmen, o. B. d. A. $a=0$. Aus $[y,[y,ax+bh+cy]]=[y,ah+2by]=ay$ folgt dann $y\in 𝔞$ und damit auch $h=[x,y]\in 𝔞$, also wieder $𝔞=𝔰𝔩(2,ℝ)$.

Killing-Form

Die Killing-Form von $𝔰𝔩(2,ℝ)$ lässt sich explizit durch die Formel

$B(v,w)=4\mathrm{Spur}(vw)$

berechnen, es ist also

$B(x,x)=B(y,y)=0,B(h,h)=8$

$B(x,y)=4,B(x,h)=0,B(y,h)=0$.

Isomorphismus sl(2,R)=o(2,1)

Die adjungierte Darstellung von $SL(2,ℝ)$ auf $𝔰𝔩(2,ℝ)$ erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung

$Ad:SL(2,ℝ)\to O(2,1)$

und man kann zeigen, dass $Ad$ ein Gruppenisomorphismus $PSL(2,ℝ)\to SO(2,1)$ ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra $𝔰𝔩(2,ℝ)$ isomorph zu $𝔰𝔬(2,1)$.

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe $SL(2,ℝ)$ ist die Spezielle orthogonale Gruppe $K=SO(2)$, ihre Lie-Algebra $𝔨=𝔰𝔬(2)$ ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:

$𝔰𝔬(2)=\{A\in Mat(2,ℝ):A^T=-A\}$.

Eine Cartan-Involution von $𝔰𝔩(2,ℝ)$ ist gegeben durch

$\theta (A)=-A^T$.

$𝔨=𝔰𝔬(2)$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert $1$. Man erhält die Cartan-Zerlegung

$𝔰𝔩(2,ℝ)=𝔨\oplus 𝔭$,

wobei $𝔭=\{A\in 𝔰𝔩(2,ℝ):A=A^T\}$ der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von $𝔰𝔩(2,ℝ)$ ist

$𝔰𝔩(2,ℝ)=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$

mit $𝔨=𝔰𝔬(2),𝔞=\{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right):\lambda \in ℝ\},𝔫=\{\left(\begin{array}{cc}0& n\\ 0& 0\end{array}\right):n\in ℝ\}$.

Cartan-Unteralgebren

$𝔰𝔩(2,ℝ)$ hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${𝔥}_0=ℝ\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

und

${𝔥}_1=ℝ\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$.

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu ${𝔥}_0$ ist

$R=\{{\alpha }_{12}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),{\alpha }_{21}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\}$.

Die dualen Wurzeln sind

${\alpha }_{12}^{*}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right)=2\lambda ,{\alpha }_{12}^{*}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right)=-2\lambda$.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

${𝔤}_{{\alpha }_{12}}=ℝ\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{𝔤}_{{\alpha }_{21}}=ℝ\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Als positive Weyl-Kammer kann man

${𝔥}_0^{+}=\{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right):\lambda >0\}$

wählen. Dann ist ${\alpha }_{12}$ die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe $S_2$.

Darstellungen von sl(2,R)

Jede Darstellung von $𝔰𝔩(2,ℝ)$ entspricht durch Tensorieren mit $ℂ$ einer $ℂ$-linearen Darstellung von $𝔰𝔩(2,ℂ)$, man erhält also alle Darstellungen von $𝔰𝔩(2,ℝ)$ als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).

Weblinks

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra ${𝔰𝔩}_2$ pdf