Spezielle lineare Gruppe

Verknüpfungstafel von $\mathrm{SL}(2,{𝔽}_3)$

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad $n$ über einem Körper $K$ (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring) ist die Gruppe aller $n\times n$ Matrizen mit Koeffizienten aus $K$, deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt. Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad $n$ über $K$ wird mit $\mathrm{SL}(n,K)$ bezeichnet. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge $ℝ$ der reellen oder $ℂ$ der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch $\mathrm{SL}(n)$ oder ${\mathrm{SL}}_n$.

Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe $\mathrm{SL}(n,K)$ ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe $\mathrm{GL}(n,K)$.

Die Faktorgruppe $\mathrm{GL}(n,K)/\mathrm{SL}(n,K)$ ist isomorph zu $K^{*}$, der Einheitengruppe von $K$ (für einen Körper $K$ ist $K^{*}$ gleich $K\setminus \{0\}$). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der $\mathrm{SL}(n,K)$ sind für $K=ℝ$ die spezielle orthogonale Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ und für $K=ℂ$ die spezielle unitäre Gruppe $\mathrm{SU}(n)$.

Die spezielle lineare Gruppe $\mathrm{SL}(n,K)$ über dem Körper $K=ℝ$ oder $K=ℂ$ ist eine Lie-Gruppe über $K$ der Dimension $n^2-1$.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe $\mathrm{SL}(n,K)$ beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch

• SL(2,R)
• Modulform