Weyl-Kammer

In der Mathematik ist die Weyl-Kammer (benannt nach Hermann Weyl) ein Begriff aus der Theorie der Lie-Gruppen. Weyl-Kammern werden bei der Definition positiver und einfacher Wurzeln benötigt, außerdem spielen sie eine zentrale Rolle in der Theorie der Gebäude.

Definition

Sei $𝔤$ eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra, $𝔞\subset 𝔤$ eine Cartan-Unteralgebra und $(𝔞,R)$ das zugehörige Wurzelsystem.

Für eine Wurzel $\alpha \in R\subset 𝔞$ bezeichne

$E_{\alpha }:=\{x\in 𝔞:{\alpha }^{\vee }(x)=0\}\subset 𝔞$

die zugehörige Hyperebene in $𝔞$.

Dann heißen die Zusammenhangskomponenten von

$𝔞\setminus {\cup }_{\alpha \in R}{E}_{\alpha }$

die Weyl-Kammern des Wurzelsystems.

Wirkung der Weyl-Gruppe

Die Weyl-Gruppe von $𝔤$ wirkt auf $𝔞$ und permutiert die Menge der Weyl-Kammern, d. h., die Wirkung der Weyl-Gruppe auf der Menge der Weyl-Kammern ist einfach transitiv und die Anzahl der Weyl-Kammern ist die Kardinalität der Weyl-Gruppe.

Der Abschluss einer Weyl-Kammer ist ein Fundamentalbereich für die Wirkung der Weyl-Gruppe auf $𝔞$.

Weyl-Kammern in symmetrischen Räumen

Es sei $X=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Dann sind alle $x$ enthaltenden Flachs $F\subset X$ von der Form

$F=ex{p}_x(𝔞)$

für eine abelsche Unteralgebra $𝔞\subset 𝔭$. (Hier ist $ex{p}_x:𝔭\to X$ die Exponentialabbildung in $x\in X$ und $𝔤=𝔨\oplus 𝔭$ die Cartan-Zerlegung.)

Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen: Weyl-Kammern in $F$ sind (per Definition) die Bilder der Weyl-Kammern in $𝔞$ unter der Exponentialabbildung.

Beispiel

Wurzelsystem A₂

Es sei

$𝔤=sl(3,ℝ)=\{A\in \mathrm{Mat}(3,ℝ):\mathrm{Spur}(A)=0\}$

und

$𝔞=\{\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3):{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0\}$.

Das zugehörige Wurzelsystem besteht aus den sechs Wurzeln

${\alpha }_1=\mathrm{diag}(1,-1,0)$

${\alpha }_2=\mathrm{diag}(1,0,-1)$

${\alpha }_3=\mathrm{diag}(0,1,-1)$

${\alpha }_4=\mathrm{diag}(-1,1,0)$

${\alpha }_5=\mathrm{diag}(-1,0,1)$

${\alpha }_6=\mathrm{diag}(0,-1,1)$,

entsprechend

${\alpha }_1^{\vee }(\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3))={\lambda }_1-{\lambda }_2$

${\alpha }_2^{\vee }(\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3))={\lambda }_1-{\lambda }_3$

${\alpha }_3^{\vee }(\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3))={\lambda }_2-{\lambda }_3$

${\alpha }_4^{\vee }(\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3))={\lambda }_2-{\lambda }_1$

${\alpha }_5^{\vee }(\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3))={\lambda }_3-{\lambda }_1$

${\alpha }_6^{\vee }(\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3))={\lambda }_3-{\lambda }_2$.

Die $E_{\alpha }$ sind drei Geraden im zweidimensionalen Vektorraum $\alpha$, sie zerlegen $\alpha$ in sechs Weyl-Kammern.

Die Weyl-Gruppe ist in diesem Fall die symmetrische Gruppe $S_3$, sie permutiert die sechs Weyl-Kammern.

Literatur

• Armand Borel: Linear algebraic groups. W. A. Benjamin, New York / Amsterdam 1969
• Alexander Kirillov Jr.: An introduction to Lie groups and Lie algebras. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 113. Cambridge University Press, Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-88969-8
• Ira Gessel, Doron Zeilberger: Random walk in a Weyl chamber. Vorlage:JSTOR

Weblinks

• John Dusel: Root Systems. (PDF)
• Raphaël Rouquier: Weyl groups, affine Weyl groups and reflection groups (PDF; 136 kB)
• Allen Knutson: Weyl groups and Weyl chambers
• Weyl Chamber. Planet Math