Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und $\phi \in \mathrm{End}(V)$ ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung $\phi :V\to V$. Der Eigenraum $E(\lambda )$ zum Eigenwert $\lambda$ von $\phi$ ist dann

$\begin{array}{cc}E(\lambda )& :=\mathrm{Kern}(\phi -\lambda {\mathrm{id}}_V)\\ & =\{x\in V\mid \phi (x)=\lambda x\}\\ & =\{x\in V\mid x\ne 0,\phi (x)=\lambda x\}\cup \left\{0\right\}\end{array}$

Dabei bezeichnet ${\mathrm{id}}_V$ die Identitätsabbildung auf $V$.

Man sagt dann auch, $E\left(\lambda \right)\subseteq V$ ist invariant bezüglich des Endomorphismus $\phi$ oder $E\left(\lambda \right)$ ist ein $\phi$-invarianter Untervektorraum von $V$. Die Elemente $x$ von $E\left(\lambda \right)$ sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ von $\phi$, sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums $E\left(\lambda \right)$ wird als geometrische Vielfachheit von $\lambda$ bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$. Wenn die Dimension des Eigenraums $E\left(\lambda \right)$ größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

Eigenschaften

• Existiert ein Eigenwert $\lambda =0$ von $\phi$, so ist der zugehörige Eigenraum $E\left(\lambda \right)$ gleich dem Kern von $\phi$. Denn $\mathrm{Kern}\left(\phi \right)=\{x\in V\mid \phi \left(x\right)=0\}$ und nach Definition des Eigenraumes: $E\left(0\right)=\{x\in V\mid \phi \left(x\right)=0x=0\}$.

• Die Summe von Eigenräumen zu $n$ paarweise verschiedenen Eigenwerten ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ von $\phi$ ist direkt:

$E({\lambda }_1)+\dots +E({\lambda }_n)=E({\lambda }_1)\oplus \dots \oplus E({\lambda }_n)$

• Gilt im obigen Fall $E({\lambda }_1)+\dots +E({\lambda }_n)=V$, so besitzt $V$ eine Basis aus Eigenvektoren von $\phi$. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix $A$ von $\phi \in \mathrm{End}\left(V\right)$ bezüglich einer Basis von $V$ diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix $A^{\prime }$ von $\phi$ bezüglich einer Basis von $V$ aus Eigenvektoren von $\phi$ hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von $A^{\prime }$ stehen dann die Eigenwerte von $\phi$:

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right)$

• Ist $V$ ein Prähilbertraum und $\phi \in \mathrm{End}(V)$ selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).