Lie-Klammer

Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$. Eine innere Verknüpfung

$[\cdot ,\cdot ]:V\times V\to V,(x,y)\mapsto [x,y],$

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:

• Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]$

und

$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

für alle $a,b\in K$ und alle $x,y,z\in V$.

• Es gilt $[x,x]=0$ für alle $x\in V$.
• Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

für alle $x,y,z\in V$.

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

Eigenschaften

Antisymmetrie

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt $[x,y]=-[y,x]$ für alle $x,y\in V$. Hat der Körper $K$ nicht die Charakteristik $2$, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft $[x,x]=0$ herleiten. Dazu setzt man $y=x$.

Flexibilität

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term $[[x,y],z]$ muss nicht gleich dem Term $[x,[y,z]]$ sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also $[[x,y],x]=[x,[y,x]]$ für alle Elemente $x,y\in V$.

Beispiele

Triviale Lie-Klammer

Ist $V$ ein beliebiger Vektorraum und sind $a$ und $b$ zwei Elemente des Raums, dann kann durch

$[a,b]:=0$

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator

Seien $A$, $B$ und $C$ drei $n\times n$-Matrizen mit Einträgen in einem Körper $K$ (zum Beispiel dem Körper $ℝ$ der reellen oder dem Körper $ℂ$ der komplexen Zahlen). Der Kommutator $[\cdot ,\cdot ]$ für quadratische Matrizen ist definiert durch

$[A,B]:=A\cdot B-B\cdot A$,

wobei mit $\cdot$ die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für $\lambda ,\mu \in K$ gelten für den Kommutator die Rechenregeln

$\begin{array}{cc}[\lambda A+\mu B,C]& =(\lambda A+\mu B)\cdot C-C\cdot (\lambda A+\mu B)\\ & =\lambda (A\cdot C-C\cdot A)+\mu (B\cdot C-C\cdot B)\\ & =\lambda [A,C]+\mu [B,C],\end{array}$

$[A,A]=A\cdot A-A\cdot A=0$ und

$\begin{array}{cc}[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=& [A,B\cdot C-C\cdot B]+[B,C\cdot A-A\cdot C]+[C,A\cdot B-B\cdot A]\\ =& A\cdot (B\cdot C-C\cdot B)-(B\cdot C-C\cdot B)\cdot A+B\cdot (C\cdot A-A\cdot C)\\ & -(C\cdot A-A\cdot C)\cdot B+C\cdot (A\cdot B-B\cdot A)-(A\cdot B-B\cdot A)\cdot C\\ =& 0.\end{array}$

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der $n\times n$-Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

über dem Körper $ℂ$ der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von ${\sigma }_1$ und ${\sigma }_3$, so gilt

$\begin{array}{cc}[{\sigma }_1,{\sigma }_3]& ={\sigma }_1\cdot {\sigma }_3-{\sigma }_3\cdot {\sigma }_1\\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\\ & =-2\mathrm{i}\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)\\ & =-2\mathrm{i}{\sigma }_2.\end{array}$

Kreuzprodukt

Für $a,b\in {ℝ}^3$ ist das Kreuzprodukt

$a\times b=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität $a\times a=0$ können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

$a\times (b\times c)+b\times (c\times a)+c\times (a\times b)$

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern

Seien $X$ und $Y$ zwei Vektorfelder auf der $n$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit $M$. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

$({ℒ}_{X}Y)f=X(Y(f))-Y(X(f))$.

Dieser Operator $(X,Y)\mapsto {ℒ}_{X}Y$ erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch $[X,Y]:={ℒ}_{X}Y$.

Jacobi-Klammer

Seien $A$ ein kommutativer Ring, $B$ eine kommutative Algebra über $A$ und ${\delta }_1,{\delta }_2\in \mathrm{Der}(B)$ zwei Derivationen von $B$. Dann ist die durch

$[{\delta }_1,{\delta }_2]:={\delta }_1{\delta }_2-{\delta }_2{\delta }_1$

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.

Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer $\{\cdot ,\cdot \}$ ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

$\{fg,h\}=f\{g,h\}+\{f,h\}g$

für alle glatten Funktionen $f$, $g$ und $h$. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten $(q_1,\dots ,q_n,p_1,\dots ,p_n)$ hat die Poisson-Klammer die Darstellung

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i})$.