Schwartz-Raum (allgemein)

Unter einem Schwartz-Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind Schwartz-Räume. Der Raum $𝒮$ der schnell fallenden Funktionen (s. u.) wird in der Distributionstheorie manchmal als der Schwartz-Raum bezeichnet, obwohl es sich lediglich um einen Vertreter der hier zu besprechenden Raumklasse handelt. Die Bezeichnung Schwartz-Raum (nach Laurent Schwartz) geht auf Alexander Grothendieck zurück. In der Literatur ist auch die Bezeichnung $S$-Raum verbreitet; ein vollständiger Schwartz-Raum wird dann auch ein $\bar{S}$-Raum genannt.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum $E$ heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum $F$ und jedem stetigen linearen Operator $A:E\to F$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass das Bild $A(V)$ präkompakt ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum $F$ und jedem stetigen linearen Operator $A:E\to F$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass $\overline{A(V)}$ kompakt ist.

Eine innere Charakterisierung lautet:

Ein lokalkonvexer Raum $E$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung $U\subset E$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass man zu jedem $ϵ>0$ endlich viele Punkte $x_1,\dots ,x_n\in E$ mit $V\subset {\bigcup }_{j=1}^n(x_j+ϵU)$ finden kann.

Präkompakte Halbnormen

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm $p$ auf einem lokalkonvexen Raum $E$ heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge $({\zeta }_n{)}_n$ in $𝕂$ und eine gleichstetige Folge $(f_n{)}_n$ im starken Dualraum $E{}^{\prime }$ gibt, so dass für alle $x\in E$ die Ungleichung $p(x)\le \underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|{\zeta }_n{f}_n(x)|$ gilt. (Dabei heißt die Folge $(f_n{)}_n$ gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm $q$ auf $E$ gibt mit $|f_n(x)|\le q(x)$ für alle $x\in E$ und $n\in \mathbb{N}$.)

Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung $p(x)\le \underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|{\zeta }_n{f}_n(x)|\le \underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|{\zeta }_n|\cdot q(x)$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:

Ein lokalkonvexer Raum $E$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

Beispiele

• Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen Räume Schwartz-Räume.
• Jeder vollständige nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
• Sei $𝒮({ℝ}^n)$ der Raum aller Funktionen $f:{ℝ}^n\to ℝ$, für die alle Suprema $p_{k,m}(f):=\underset{|\alpha |\le k}{\sup }\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|(1+|x{|}^2{)}^m{D}^{\alpha }f(x)|$ endlich sind. Dabei wurde von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum $𝒮({ℝ}^n)$ mit den Halbnormen $\{p_{k,m};k,m\in {\mathbb{N}}_0\}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen. Er ist ein Schwartz-Raum und wird manchmal auch als der Schwartz-Raum bezeichnet.
• Jede Folge $(a_n{)}_n\in {\ell }^1$ definiert durch die Festlegung $(x_n{)}_n\mapsto {\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_n$ ein lineares Funktional auf dem Folgenraum ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ der beschränkten Folgen. Diesen Raum versehe man mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, so dass der Dualraum bzgl. dieser Identifikation mit ${\ell }^1$ zusammenfällt. Nach dem Satz von Mackey-Arens gibt es eine solche Topologie, die Mackey-Topologie $\tau ({\ell }^{\mathrm{\infty }},{\ell }^1)$. Der lokalkonvexe Raum $({\ell }^{\mathrm{\infty }},\tau ({\ell }^{\mathrm{\infty }},{\ell }^1))$ ist ein vollständiger Schwartz-Raum, der nicht nuklear ist.

Eigenschaften

• Unterräume und Quotientenräume nach abgeschlossenen Unterräumen von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Beliebige Produkte von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume. Es gibt aber Fréchet-Montel-Räume, die keine Schwartz-Räume sind.
• Ein lokalkonvexer Raum $E$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es eine Menge $I$ gibt, so dass $E$ topologisch isomorph zu einem Unterraum von $({\ell }^{\mathrm{\infty }},\tau ({\ell }^{\mathrm{\infty }},{\ell }^1){)}^I$ ist. In diesem Sinne ist $({\ell }^{\mathrm{\infty }},\tau ({\ell }^{\mathrm{\infty }},{\ell }^1))$ ein universeller Schwartz-Raum.

Vollständige Schwartz-Räume

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist $p$ eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum $E$, so ist $N_p:=\{x\in E;p(x)=0\}$ ein abgeschlossener Unterraum von $E$ und durch $\Vert x+N_p{\Vert }_p:=p(x)$ wird eine Norm auf dem Faktorraum $E_p:=E/N_p$ erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit $B_p$ bezeichnet. Ist $q$ eine weitere stetige Halbnorm mit $p\le q$, so definiert $x+N_q\mapsto x+N_p$ einen stetigen linearen Operator $E_q\to E_p$, der sich stetig zu einem linearen Operator ${\kappa }_{qp}:B_q\to B_p$ fortsetzen lässt. Die $B_p$ heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren ${\kappa }_{qp}$ heißen kanonische Abbildungen von $E$. Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm $p$ eine weitere stetige Halbnorm $q\ge p$ gibt, so dass die kanonische Abbildung ${\kappa }_{qp}:B_q\to B_p$ ein kompakter Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Lecture Notes in Mathematics 56, 1968.
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, 1971.
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. Marcel Dekker Ltd., 1992.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992. ISBN 3-528-07262-8