Satz von Kuiper

Der Satz von Kuiper ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Funktionalanalysis und dem Gebiet der Topologie angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des niederländischen Mathematikers Nicolaas Hendrik Kuiper aus dem Jahre 1965 zurückgeht. Kuiper behandelt hier Homotopieeigenschaften der Gruppe der invertierbaren beschränkten linearen Operatoren eines unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraums $H$ und bestätigt mit seinem Satz eine von Michael Atiyah, Albert Solomonowitsch Schwarz und Richard Sheldon Palais aufgestellte Vermutung.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Kuiper lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein unendlich-dimensionaler separabler $𝕂$-Hilbertraum $H$, wobei $𝕂=ℝ$, der Körper der reellen Zahlen, oder $𝕂=ℂ$, der Körper der komplexen Zahlen, oder $𝕂=ℍ$, der Schiefkörper der Quaternionen, sei.

Hier seien $𝔏(H)$, versehen mit der Operatornorm, der topologische Ring der beschränkten linearen Operatoren auf $H$ sowie $𝔏𝔊(H)\subset 𝔏(H)$ die darin enthaltene topologische Gruppe der invertierbaren beschränkten linearen $H$-Operatoren und schließlich $𝔘(H)\subset 𝔏𝔊(H)$ die ebenfalls darin enthaltene Untergruppe der unitären $H$-Operatoren.

Dann gilt:

(1) $𝔏𝔊(H)$ ist als topologischer Teilraum von $𝔏(H)$ ein zusammenziehbarer Raum.

(2) $𝔘(H)$ ist ein Retrakt von $𝔏𝔊(H)$ und daher ebenfalls zusammenziehbar.

Anmerkungen

• Man nennt die Gruppe $𝔏𝔊(H)$ manchmal auch die Lineare Gruppe (Vorlage:EnS) von $H$. Kuiper nennt sie in seiner Originalarbeit die Allgemeine Lineare Gruppe (Vorlage:EnS) von $H$.
• $𝔏𝔊(H)$ist innerhalb $𝔏(H)$ eine offene Teilmenge.
• Aus der Topologie ist bekannt, dass ein zusammenziehbarer Raum stets wegzusammenhängend und dass jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raumes seinerseits ein zusammenziehbarer Raum ist.
• Lässt man an die Stelle des unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraum $H$ gewisse klassische Banachräume $X$ treten, so gilt für $𝔏𝔊(X)$ die obige Teilaussage (1) zur Zusammenziehbarkeit immer noch, wie etwa Dietmar Arlt für $X=c_0$ zeigen konnte.
• Wie jedoch Adrien Douady gezeigt hat, lassen sich direkte Summen zweier klassischer Banachräume konstruieren, so dass für diese die Teilaussage (1) keine Gültigkeit mehr hat.
• Hinsichtlich der Bedeutung des Kuiper'schen Satzes lässt sich auf eine Anmerkung bei Hirzebruch/Scharlau verweisen, wonach der Satz von Wichtigkeit für die Beziehungen zwischen algebraischer Topologie und Funktionalanalysis ist.

Literatur

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