Direkte Summe (Banachraum)

Die direkte Summe von Banachräumen ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis verwendete Methode, aus gegebenen Banachräumen neue zu konstruieren. Dabei werden die algebraischen direkten Summen mit einer geeigneten Norm versehen. Diese macht endliche direkte Summen bereits zu Banachräumen, bei unendlich vielen Summanden muss man noch vervollständigen.

Endliche direkte Summen

Es seien $X_1,\dots ,X_n$ normierte Räume, deren Normen mit $\Vert \cdot \Vert$ bezeichnet seien. Dann ist die direkte Summe $X_1\oplus \dots \oplus X_n$ wieder ein normierter Raum, wenn man darauf die Normen

$\Vert (x_1,\dots ,x_n){\Vert }_p:={(\sum _{j=1}^n\Vert x_j{\Vert }^p)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\mathrm{\infty }$

oder

$\Vert (x_1,\dots ,x_n){\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }\Vert x_j\Vert$

erklärt. Diese Normen sind untereinander äquivalent und induzieren auf der direkten Summe die Produkttopologie der $X_j$. Die direkte Summe $X_1\oplus \dots \oplus X_n$ ist mit jeder dieser Normen genau dann ein Banachraum, wenn jeder der $X_j$ ein Banachraum ist. Im Falle von Hilberträumen verwendet man obige Definition für $p=2$, denn nur mit dieser Norm ist die direkte Summe wieder ein Hilbertraum.

Unendliche Summen

Es sei $(X_j{)}_{j\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Banachräumen, wobei die Norm auf jedem $X_j$ mit $\Vert \cdot \Vert$ bezeichnet sei. Dann definiert man

${\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_p=\{(x_j{)}_j\in \prod _{j\in \mathbb{N}}{X}_j;\sum _{j\in \mathbb{N}}\Vert x_j{\Vert }^p<\mathrm{\infty }\}$

und

${\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_{\mathrm{\infty }}=\{(x_j{)}_j\in \prod _{j\in \mathbb{N}}{X}_j;\underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert x_j\Vert <\mathrm{\infty }\}$.

Es handelt sich um Untervektorräume des kartesischen Produktes $\prod _{j\in \mathbb{N}}{X}_j$ und die Normen

$\Vert (x_j{)}_j{\Vert }_p:={(\sum _{j\in \mathbb{N}}\Vert x_j{\Vert }^p)}^{\frac{1}{p}}$

bzw.

$\Vert (x_j{)}_j{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert x_j\Vert$

machen sie zu Banachräumen. Schließlich ist

${\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_0=\{(x_j{)}_j\in {\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_{\mathrm{\infty }};\Vert x_j\Vert \to 0\}$

ein Unterbanachraum.

Wählt man speziell $X_j=ℝ$ bzw. $X_j=ℂ$ für alle j, so erhält man die bekannten Folgenräume ${\ell }^p,{\ell }^{\mathrm{\infty }}$ bzw. $c_0$. Man nennt daher ${\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_p$ die ${\ell }^p$-Summe der Banachräume, für $p=\mathrm{\infty }$ bzw. $p=0$ spricht man von der ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$-Summe bzw. $c_0$-Summe. Sind die Banachräume alle gleich, etwa gleich $X$, so schreibt man obige Räume kürzer als ${\ell }^p(X)$ bzw. $c_0(X)$.

Bezeichnet man den Dualraum eines Banachraums $X$ mit $X^{*}$, so hat man in Analogie zu den Folgenräumen:

${\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_0^{*}={\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j^{*}\right)}_1$

und

${\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j\right)}_p^{*}={\left(\sum _{j\in \mathbb{N}}{X}_j^{*}\right)}_q$   für $1\le p<\mathrm{\infty }$ und $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Dabei ist diese Dualraumbeziehung so zu verstehen, dass eine Folge $f=(f_j{)}_j\in \prod X_j^{*}$ als Funktional auf eine Folge $x=(x_j{)}_j$ mittels der Formel $f(x)=\sum _{j\in \mathbb{N}}{f}_j(x_j)$ anzuwenden ist und dass die Norm des Funktionals genau die Norm in der entsprechenden Summe der Dualräume ist.

Die algebraische direkte Summe ${\oplus }_j{X}_j$ ist in der Regel selbst kein Banachraum, sie liegt aber dicht in der $c_0$-Summe bzw. in den ${\ell }^p$-Summen für $1\le p<\mathrm{\infty }$, letztere sind also Vervollständigungen der direkten Summe. Im Gegensatz zur Situation der endlichen direkten Summen sind die Vervollständigungen bzgl. der verschiedenen Normen nicht isomorph. Das zeigt schon das Beispiel $X_j=ℝ$ für alle j, denn dann sind die Vervollständigungen die ${\ell }^p$-Räume, die nach dem Satz von Pitt untereinander nicht isomorph sind.

In manchen Fällen bringen Konstruktionen der Art ${\ell }^p(X)$ keine neuen Räume hervor, was dann wieder eine nützliche Eigenschaft dieser Räume ist. So gilt beispielsweise

${\ell }^p(L^p[0,1])\cong L^p[0,1]$ für $1\le p\le \mathrm{\infty }$

${\ell }^p({\ell }^p)\cong {\ell }^p$ für $1\le p\le \mathrm{\infty }$

$c_0(c_0)\cong c_0$

$c_0(C(\mathrm{\Delta }))\cong C(\mathrm{\Delta })$.

Dabei steht $\cong$ für isometrische Isomorphie, $L^p[0,1]$ ist der L^p-Raum über dem Einheitsintervall und $C(\mathrm{\Delta })$ ist der Raum der stetigen Funktionen auf dem Cantor-Raum.