Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension $n^2-1,$ insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe $\mathrm{U}(n)$ sowie der speziellen linearen Gruppe $\mathrm{S}\mathrm{L}(n,ℂ)$.

Lie-Algebra

Die zu $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ korrespondierende Lie-Algebra $𝔰𝔲(n)$ entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

$f:𝔰𝔲(n)\to \mathrm{S}\mathrm{U}(n),g\mapsto \exp g$

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ besteht aus allen Vielfachen $\xi E_n$ der Einheitsmatrix $E_n$, die in $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ liegen. Da $\det (\xi E_n)={\xi }^n=1$, müssen diese Vielfachen $n$-te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)\times \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\times \mathrm{U}(1)$ gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, nämlich Farbe, Flavour und elektrische Ladung). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\times \mathrm{S}\mathrm{U}(2)$.

Die Gruppe $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes ${ℂ}^2$, mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen ${\sigma }_i$ erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes ${ℝ}^3$, die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit $\mathrm{i}$:

$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\{\exp (-\frac{\mathrm{i}}{2}\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\sigma })|\overrightarrow{\alpha }\in {ℝ}^3\}$ mit reellen Vektorkomponenten ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ und ${\alpha }_3$, den „Drehwinkeln“  (${\alpha }_3$ durchläuft beispielsweise das Intervall $[-2\pi ,+2\pi ]$), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor $\overrightarrow{\sigma }$  (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!) Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, $\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\sigma }={\alpha }_1{\sigma }_1+{\alpha }_2{\sigma }_2+{\alpha }_3{\sigma }_3.$ Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u. a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um $2\pi (=360^{\circ })$, sondern erst bei dem doppelten  Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man $\overrightarrow{\sigma }/2$ durch den Ortsdrehimpuls-Operator $\overrightarrow{ℒ}$ ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. ${ℒ}_3=\frac{\partial }{\mathrm{i}\partial \phi }$). Dabei wurde $\hslash$, die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und $\phi$ ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 ^o aus, um eine gewöhnliche Funktion – statt eines Spinors – zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im ${ℝ}^4$, die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4) = SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur

Lehrbücher

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06432-3.
• Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42650-7, Chapters 4–6.
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 98). Corrected 2nd printing. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-13678-9.
• Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N). An Introduction. Birkhäuser, Basel u. a. 2003, ISBN 3-7643-2418-X.

Artikel

• Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics. TASI 1987, Scanned version from KEK.
• Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930). Vorlage:ArXiv

Weblinks

• Vorlage:MathWorld