Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren $F:𝒞\to 𝒟$ und $G:𝒟\to 𝒞$ zwischen Kategorien $𝒞$ und $𝒟$ heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.

Definition

Zwei Funktoren $F:𝒞\to 𝒟$ und $G:𝒟\to 𝒞$ zwischen Kategorien $𝒞$ und $𝒟$ bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

$(X,Y)\mapsto {\mathrm{Mor}}_{𝒟}(X,FY)$

und

In diesem Diagramm ist $G$ linksadjungiert zu $F$.

$(X,Y)\mapsto {\mathrm{Mor}}_{𝒞}(GX,Y)$

von ${𝒟}^{\mathrm{op}}\times 𝒞$ in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

$F$ heißt rechtsadjungiert zu $G$, $G$ heißt linksadjungiert zu $F$. Man schreibt dies kurz als $G⊣F$ oder $F⊢G$, das Turnstile-Symbol zeigt auf den linksadjungierten Funktor. In Diagrammen wird dieses Symbol ebenfalls zur Kennzeichnung einer Adjunktionsbeziehung verwendet.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist $t$ die natürliche Äquivalenz ${\mathrm{Mor}}_{𝒟}({\cdot }_1,F({\cdot }_2))\to {\mathrm{Mor}}_{𝒞}(G({\cdot }_1),{\cdot }_2)$, so heißen die natürlichen Transformationen

$\eta :{\mathrm{id}}_{𝒟}\to FG$

$X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}({\mathrm{id}}_{GX})$

und

$\epsilon :GF\to {\mathrm{id}}_{𝒞}$

$Y\mapsto t_{(FY,Y)}({\mathrm{id}}_{FY})$

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

$G\to GFG\to G$    und    $F\to FGF\to F$

jeweils die Identität ergeben. Genauer sollen folgende Diagramme kommutativ sein:

Datei:Dreiecksgleichungen.png

Dabei sind $1_G$ und $1_F$ die identischen Transformationen und die natürlichen Transformationen $G\eta ,\epsilon G,\eta F,F\epsilon$ sind definiert durch $(G\eta {)}_X:=G({\eta }_X),(\epsilon G{)}_X:={\epsilon }_{G(X)},(\eta F{)}_Y:={\eta }_{F(Y)},(F\epsilon {)}_Y:=F({\epsilon }_Y)$ für Objekte $X$ aus $𝒟$ und $Y$ aus $𝒞$. Wegen der Form dieser kommutativen Diagramme nennt man die Beziehungen $1_G=\epsilon G\circ G\eta$ und $1_F=F\epsilon \circ \eta F$ auch die Dreiecksgleichungen.

Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen, die diese Dreiecksgleichungen erfüllen, eine Adjunktion bestimmen, deren Einheit und Koeinheit sie sind.

Eigenschaften

• Sind $F$ und $G$ quasi-invers zueinander, so ist $F$ rechts- und linksadjungiert zu $G$.
• Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
• Ist $F$ rechtsadjungiert zu $G$, $\eta :{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{𝒟}\to FG$ die Einheit, und $\epsilon :GF\to {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{𝒞}$ die Koeinheit der Adjunktion, so ist $(FG,\eta ,\mu )$ mit ${\mu }_X:=F({\epsilon }_{GX})$ eine Monade in $𝒟$.

Beispiele

• Der Funktor $F:𝐒𝐞𝐭\to {𝐕𝐞𝐜}_K$, der eine Menge $I$ auf $F(I)$, den freien $K$-Vektorraum über $I$, dessen Elemente formale $K$-Linearkombinationen sind, abbildet, ist linksadjungiert zum Vergissfunktor $U:{𝐕𝐞𝐜}_K\to 𝐒𝐞𝐭$, der Vektorräumen ihre zugrundeliegende Menge zuordnet. Die $I$-Komponente der Einheit dieser Adjunktion, ${\eta }_I:I\to U(F(I))$, ist gerade die Familie der kanonischen Basisvektoren von $F(I)$. Die $V$-Komponente der Koeinheit, ${\epsilon }_V:F(U(V))\to V$, ist die lineare Abbildung, die formale $K$-Linearkombinationen von Elementen von $V$ mit den konkreten Operationen von $V$ auswertet.
• Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus“ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top^* → Top.
• Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
• Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
• Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
• In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie $𝒞$ ist für jedes Objekt $S$ der Funktor $(-)\times S:𝒞\to 𝒞$ linksadjungiert zum Funktor $(-{)}^S:𝒞\to 𝒞$. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung $A\mapsto (A\times S{)}^S$ ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt $S$.
• Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor $G:𝐒𝐞𝐭\to 𝐑𝐞𝐥$, mit $G(X)=X$ für Mengen $X$ und $G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y$ für Funktionen $f:X\to Y$. Der zu $G$ rechtsadjungierte Funktor $F:𝐑𝐞𝐥\to 𝐒𝐞𝐭$ ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen $r\subseteq X\times Y$ die Funktion $M\mapsto \{y\mid (x,y)\in r,x\in M\}$ zu. Die $X$-Komponente der Einheit der Adjunktion, ${\eta }_X:X\to 𝒫X$, ist $x\mapsto \{x\}$. Die $Y$-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, ${\epsilon }_Y\subseteq 𝒫Y\times Y$, ist gerade die auf $𝒫Y$ beschränkte Elementrelation.

Literatur

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