Achterknotenkomplement

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet man als Achterknotenkomplement das Komplement des Achterknotens in der 3-dimensionalen Sphäre. Es ist die einfachste hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und deshalb ein in zahlreichen Lehrbüchern diskutiertes Beispiel.

Achterknoten

Fundamentalgruppe

Die zum rechts abgebildeten Knotendiagramm gehörende Wirtinger-Präsentierung der Knotengruppe ist

$\mathrm{\Gamma }=⟨a,b|[a^{-1},b]a=b[a^{-1},b]⟩$,

wobei $a$ und $b$ Meridiane um zwei der Bögen des Knotendiagramms sind.

Die hyperbolische Struktur auf dem Achterknotenkomplement wird durch die diskrete, treue Darstellung $\rho :\mathrm{\Gamma }\to PSL(2,ℂ)$ definiert, welche $a$ auf $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ und $b$ auf $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ e^{\frac{\pi i}{3}}& 1\end{array}\right)$ abbildet.

Diese Darstellung wurde 1974 von Riley gefunden. Ihr Bild liegt in der Bianchi-Gruppe $PSL(2,O_3)$ und hat dort endlichen Index.

Bis auf komplexe Konjugation und Konjugation mit Matrizen aus $PSL(2,ℂ)$ ist dies die einzige hyperbolische Struktur, siehe Mostow-Starrheit.

Das Achterknotenkomplement ist die einzige hyperbolische Mannigfaltigkeit, für die Gleichheit in der Jørgensen-Ungleichung gilt, die also von 2 Elementen $f,g\in PSL(2,ℂ)$ mit $|Sp(f{)}^2-4|+|Sp([f,g])-2|=1$ erzeugt wird.

Ideale Triangulierung

Man erhält das Achterknotenkomplement durch Verkleben zweier idealer Tetrahedra.

Seien $v_0,\dots ,v_4$ die Ecken der bereits entlang der gemeinsamen Seitenfläche $\mathrm{\Delta }(v_1,v_2,v_3)$ verklebten Tetraeder, dann wird die Seitenfläche $\mathrm{\Delta }(v_0,v_1,v_2)$ mit $\mathrm{\Delta }(v_1,v_3,v_4)$, $\mathrm{\Delta }(v_0,v_2,v_4)$ mit $\mathrm{\Delta }(v_1,v_2,v_3)$ und $\mathrm{\Delta }(v_0,v_1,v_4)$ mit $\mathrm{\Delta }(v_2,v_3,v_4)$ verklebt.

Als Fundamentalbereich der Wirkung von $\mathrm{\Gamma }$ im Halbraum-Modell des hyperbolischen Raumes kann man die Vereinigung der beiden entlang der gemeinsamen Seitenfläche $\mathrm{\Delta }(v_1,v_2,v_3)$ verklebten idealen Tetraeder mit Ecken

$v_0=\mathrm{\infty },v_1=1,v_2=e^{\frac{\pi i}{3}},v_3=e^{-\frac{\pi i}{3}},v_4=0$

nehmen. (Hier wurde der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes mit $ℂ\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$ identifiziert.)

Die Verklebeabbildungen werden dann von den Matrizen

$\tau \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& e^{-\frac{2\pi i}{3}}-e^{\frac{2\pi i}{3}}\end{array}\right),\tau \left(\begin{array}{cc}1& -e^{-\frac{2\pi i}{3}}\\ 1& 1-e^{\frac{2\pi i}{3}}\end{array}\right),\tau \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ e^{-\frac{2\pi i}{3}}& 1-e^{\frac{2\pi i}{3}}\end{array}\right)$

mit $\tau =\frac{1}{e^{\frac{2\pi i}{3}}-1}$ realisiert.

Arithmetische Invarianten

Das Achterknotenkomplement ist das einzige arithmetische hyperbolische Knotenkomplement.

Sein Spurkörper ist $k\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ und seine Quaternionenalgebra ist $A\mathrm{\Gamma }=M_2(\mathbb{Q}(\sqrt{-3}))$.

Hyperbolisches Volumen

Das hyperbolische Volumen des Achterknotenkomplements beträgt

$\mathrm{Vol}(S^3-K)=2D_2(\omega )=2,02\dots$.

Hierbei ist $D_2$ der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und $\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Dies ergibt sich, weil die idealen Tetraeder der obigen Triangulierung beide regelmäßige Tetraeder und somit alle Diederwinkel $\frac{\pi }{3}$ sind. Das Volumen des idealen Tetraeders $T_{\alpha ,\beta ,\gamma }$ mit diedrischen Winkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$ kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden als $\mathrm{Vol}(T_{\alpha ,\beta ,\gamma })=\mathrm{\Lambda }(\alpha )+\mathrm{\Lambda }(\beta )+\mathrm{\Lambda }(\gamma )$ und für $\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}$ ergibt sich daraus $\mathrm{Vol}(T_{\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}})=3\mathrm{\Lambda }\left(\frac{\pi }{3}\right)=D_2(\omega )$.

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass das Achterknotenkomplement das hyperbolische Knotenkomplement kleinsten Volumens ist.

Achterknotenkomplement als Abbildungstorus

Das Achterknotenkomplement ist der Abbildungstorus der Arnoldschen Katzenabbildung $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ des einfach punktierten Torus.

Die Fundamentalgruppe der Faser ist die freie Gruppe $F_2$. Man hat also eine exakte Sequenz

$1\to F_2\to \mathrm{\Gamma }\to \mathbb{Z}\to 1$,

die Monodromie $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ ist das Produkt $LR$ aus den Dehn-Twists $L$ und $R$ an Longitude und Meridian des Torus.

Assoziiert zu einem Abbildungstorus einer Selbstabbildung eines punktierten Torus hat man eine kanonische ideale Triangulierung und im Fall der Monodromie $LR$ liefert diese die oben beschriebene ideale Triangulierung des Achterknotenkomplements.

Schwestermannigfaltigkeit

Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch $(-5,1)$-Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie lässt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.

Literatur

• W. P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lecture Notes, Princeton University 1976–79 online
• Colin MacLachlan, Alan Reid: The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 219. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-98386-4

Weblinks

• Hyperbolic non-euclidean world