Dehn-Twist

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Dehn-Twists bestimmte Selbstabbildungen von Flächen. Dehn-Twists wurden von Max Dehn eingeführt, der sie ursprünglich als „Schraubungen“ bezeichnete.

Definition

Sei $S$ eine orientierbare Fläche und $c\subset S$ eine einfache geschlossene Kurve. Sei $U$ eine Tubenumgebung von $c$, das heißt, wir haben einen Homöomorphismus $U\cong S^1\times [0,1]$, der $c$ auf $S^1\times \{1/2\}$ abbildet. Wir benutzen diesen Homöomorphismus, um $U$ durch Koordinaten $(e^{i\theta },t)$ mit $\theta \in [0,2\pi ),t\in [0,1]$ zu parametrisieren.

Wir definieren dann eine Abbildung $t_c:U\to U$ durch

$t_c(e^{i\theta },t)=(e^{i(\theta +2\pi t)},t)$.

Weil $t_c$ auf $\partial U\cong S^1\times \{0,1\}$ mit der Identität übereinstimmt, können wir es auf $S\setminus U$ durch die Identitätsabbildung stetig fortsetzen und erhalten so einen Homöomorphismus $t_c:S\to S$, der als Dehn-Twist an der Kurve c bezeichnet wird.

Anmerkung: Die oben definierte Abbildung $t_c:S\to S$ hängt von der gewählten Umgebung und der gewählten Parametrisierung ab. Für andere Umgebungen und andere Parametrisierungen bekommt man mit dieser Konstruktion aber zueinander homotope Abbildungen. Die Homotopieklasse (Abbildungsklasse) von $t_c$ ist also wohldefiniert.

Beispiele

Longitude und Meridian des Torus.

Wir identifizieren den Torus mit ${ℝ}^2/{\mathbb{Z}}^2$. Jede Matrix aus $SL(2,\mathbb{Z})$ entspricht dann einer Selbstabbildung des Torus. (Die Matrix wirkt linear auf ${ℝ}^2$ und bildet ${\mathbb{Z}}^2$ nach ${\mathbb{Z}}^2$ ab. Man kann zeigen, dass jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus des Torus homotop zu einer solchen Abbildung ist.)

Die Matrizen $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ entsprechen dann den Dehn-Twists an Longitude und Meridian (also an den Bildern der x- und y-Achse.)

Abbildungsklassengruppe

Die Dehn-Twists an diesen 3g-1 Kurven (hier für g=3) erzeugen die Abbildungsklassengruppe.

Sei $S_g$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$ und $MCG(S_g)$ ihre Abbildungsklassengruppe. Für $g=1$ (den Torus) ist $MCG(S_1)\cong SL(2,\mathbb{Z})$ und man kann mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus beweisen, dass $SL(2,\mathbb{Z})$ von den Matrizen $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ erzeugt wird, also von den Dehn-Twists an Longitude und Meridian. Max Dehn bewies auch für alle $g\ge 2$, dass die Abbildungsklassengruppe $MCG(S_g)$ von Dehn-Twists erzeugt wird. Lickorish zeigte, dass die im Bild rechts dargestellten $3g-1$ Dehn-Twists die Abbildungsklassengruppe erzeugen. Humphries bewies, dass für $g\ge 2$ die Abbildungsklassengruppe von $2g+1$ Dehn-Twists erzeugt wird und dass dies die kleinstmögliche Zahl von Erzeugern ist.

Verallgemeinerte Dehn-Twists

Sei $M$ eine symplektische Mannigfaltigkeit und $V\subset M$ eine Lagrangesche Sphäre. Nach einem Satz von Weinstein gibt es eine Umgebung $U\subset M$ von $V$, die symplektomorph zu einer Umgebung von $S^n$ im Kotangentialbündel $T^{*}{S}^n=\{(u,v)\in {ℝ}^{n+1}\times {ℝ}^{n+1}:|u|=1,⟨u,v⟩=0\}$ (mit der kanonischen symplektischen Struktur ${\sum }_{j=1}^{n+1}d{u}_{j}d{v}_j$) ist. Es genügt deshalb, verallgemeinerte Dehn-Twists für Umgebungen von $S^n$ in $T^{*}{S}^n$ zu definieren.

Die Funktion $\mu (u,v)=|v|$ ist glatt außerhalb des Null-Schnittes, ihr Hamiltonscher Fluss ${\varphi }_t^{\mu }$ ist der normalisierte geodätische Fluss. Die Abbildung ${\varphi }_{\pi }^{\mu }$ lässt sich auf den Null-Schnitt fortsetzen, weil alle Geodäten der Länge $\pi$ denselben Endpunkt haben. Die so definierte Abbildung ${\tau }_V:M\to M$ ist ein Symplektomorphismus und man kann sie so modifizieren, dass sie außerhalb einer kompakten Umgebung die Identität ist. Für $n\ge 2$ ist ${\tau }_V^2$ homotop zur Identität, während für $n=1$ (also für Dehn-Twists auf Flächen) die Dehn-Twists unendliche Ordnung in der Abbildungsklassengruppe haben.

Weblinks

• Video zur Veranschaulichung von Dehn-Twists auf dem Torus

Literatur

• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012, ISBN 978-0-691-14794-9.