Torsionstensor

Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.

Definition

Sei $(M,\mathrm{\nabla })$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$. Der Torsionstensor $T$ ist ein Tensorfeld, das durch

$T(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y]$

definiert ist. Dabei sind $X,Y\in \mathrm{\Gamma }(TM)$ zwei Vektorfelder und $[\cdot ,\cdot ]$ stellt die Lie-Klammer dar.

Lokale Darstellung

Sei $e_1,\dots ,e_n$ ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels $TM$. Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man $X:=e_i$, $Y:=e_j$ und ${\gamma }_{ij}^k{e}_k:=[e_i,e_j]$, dann gilt für die Komponenten $T_{ij}^k$ des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

$T^k{}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ij}-{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ji}-{\gamma }^k{}_{ij},i,j,k=1,2,\dots ,n.$

Dabei bezeichnen die Symbole ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

$T^k{}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ij}-{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ji},i,j,k=1,2,\dots ,n.$

Eigenschaften

• Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere $C^{\mathrm{\infty }}$-linear in seinen drei Argumenten.
• Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt $T(X,Y)=-T(Y,X)$.

Symmetrischer Zusammenhang

Ein affiner Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

$T(X,Y)=0$

oder äquivalent

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ und $c:]-ϵ,ϵ[\times ]a,b[\to M$ eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial s}}\frac{\partial }{\partial t}c(s,t)={\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial t}}\frac{\partial }{\partial s}c(s,t).$

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach $s$ mit der nach $t$ vertauscht werden.

Literatur

• Vorlage:EoM