Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition

Sei $(M,\tilde{g})$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $(E\to M,g)$ ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik $g$. Ein Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ auf $E$ heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte $X,Y,Z\in \mathrm{\Gamma }(E)$

$({\mathrm{\nabla }}_{X}g)(Y,Z)=0$

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle $X,Y,Z\in \mathrm{\Gamma }(E)$

$X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z).$

Beispiele

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel $TM$ an $M$ mit der riemannschen Metrik von $M$. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum

Sei $(E\to M,g)$ ein Vektorbündel mit Metrik $g,$ dann ist die Menge $X$ der metrischen Zusammenhänge auf $E$ ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus ${𝒜}^1(M,\mathrm{End}(E)),$ d. h., es gibt eine Abbildung

$l:{𝒜}^1(M,\mathrm{End}(E))\times X\to X,$

so dass mit der Notation $\omega +\mathrm{\nabla }:=l(\omega ,\mathrm{\nabla })$

1. für jedes $\mathrm{\nabla }\in X$ die Gleichung $0+\mathrm{\nabla }=\mathrm{\nabla }$ gilt,
2. für jedes $\omega ,\nu \in {𝒜}^1(M,\mathrm{End}(E))$ und für alle $\mathrm{\nabla }\in E$ das Assoziativgesetz $(\omega +\nu )+\mathrm{\nabla }=\omega +(\nu +\mathrm{\nabla })$ gilt und
3. für alle $\mathrm{\nabla }\in X$ die Abbildung $\omega \mapsto \omega +\mathrm{\nabla }$ bijektiv ist.

Literatur

• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
• Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
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