Wirtinger-Kalkül

Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

Wirtinger-Kalkül

Eine komplexe Zahl $z \in ℂ$ wird durch $z : = x + i y$ in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei $G \subset ℝ^{2}$ ein Gebiet und $f = u + i v : G \to ℂ$ eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}

und

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} + i \frac{\partial v}{\partial y}

.

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten $x$ und $y$ verwendet man $z = x + i y$ und $\bar{z} = x - i y$ .

Motivation und Definition

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von $f$ als

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

.

Aus $z = x + i y$ und $\bar{z} = x - i y$ ergibt sich

x = \frac{1}{2} (z + \bar{z})

und

y = \frac{1}{2 i} (z - \bar{z}) = \frac{i}{2} (\bar{z} - z)

.

Für die Differentiale erhält man daraus

d x = \frac{1}{2} (d z + d \bar{z})

und

d y = \frac{i}{2} (d \bar{z} - d z)

.

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

d f = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y}) d z + \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y}) d \bar{z}

.

Um (formal) die Beziehung

d f = \frac{\partial f}{\partial z} d z + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} d \bar{z}

zu erhalten, setzt man

\frac{\partial f}{\partial z} : = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y})

und

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} : = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y})

.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für $\frac{\partial f}{\partial z}$ schreibt man auch kurz $\partial f$ , für $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ schreibt man $\bar{\partial} f$ . Der Operator $\overline{\partial}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Holomorphe Funktionen

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn $\overline{\partial} f = 0$ gilt. In diesem Fall ist $\partial f$ die Ableitung von $f$ . Dies gilt, da die Gleichung $\overline{\partial} f = 0$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator $\overline{\partial}$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion $f$ die Gleichung $\partial f = 0$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus $\overline{\partial} f$ berechnet werden.

Eigenschaften

Beziehung zur partiellen Ableitung

Es gelten die Gleichungen

\frac{\partial f}{\partial x} = \partial f + \overline{\partial} f

und

\frac{\partial f}{\partial y} = i (\partial f - \overline{\partial} f)

.

Linearität

Die Operatoren $\partial$ und $\overline{\partial}$ sind $ℂ$ -linear, das heißt für $a, b \in ℂ$ und reell differenzierbare Funktionen $f, g : G \to ℂ$ gilt

\partial (a f + b g) = a \partial f + b \partial g

und

\overline{\partial} (a f + b g) = a \overline{\partial} f + b \overline{\partial} g

.

Komplexe Konjugation

Für jede reell differenzierbare Funktion $f$ gilt

\overline{\partial} f = \overline{\partial \overline{f}}

und

\overline{\partial} \overline{f} = \overline{\partial f}

.

Kettenregel

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

\frac{\partial (g \circ f)}{\partial z} (z_{0}) = \frac{\partial g}{\partial w} (f (z_{0})) \cdot \frac{\partial f}{\partial z} (z_{0}) + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}} (f (z_{0})) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial z} (z_{0})

und

\frac{\partial (g \circ f)}{\partial \overline{z}} (z_{0}) = \frac{\partial g}{\partial w} (f (z_{0})) \cdot \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (z_{0}) + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}} (f (z_{0})) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}} (z_{0})

.

Hauptsymbol

Das Hauptsymbol von $\partial$ ist $ξ \mapsto \frac{1}{2} (ξ_{1} - i ξ_{2})$ und das Hauptsymbol von $\overline{\partial}$ ist $ξ \mapsto \frac{1}{2} (ξ_{1} + i ξ_{2})$ . Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

Δ f = 4 \partial \overline{\partial} f = 4 \overline{\partial} \partial f

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

D : = 2 (\begin{matrix} 0 & - \partial \\ \overline{\partial} & 0 \end{matrix})

ein Dirac-Operator ist.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\frac{\partial}{\partial \overline{z}}$ ist $\frac{1}{π z}$ , das heißt die durch die Funktion $u (z) = \frac{1}{π z}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung $\frac{\partial}{\partial \overline{z}} u (z) = δ$ , wobei $δ$ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Dolbeault-Operator

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von $ℂ^{n}$ zerlegt in $(z_{1}, \dots z_{n}) = (x_{1} + i y_{1}, \dots, x_{n} + i y_{n})$ . Sei nun $D \subset ℂ^{n}$ eine offene Teilmenge und $f = (f_{1}, \dots, f_{m}) : D \to ℂ^{m}$ eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

\frac{\partial}{\partial z_{j}} : = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_{j}} - i \frac{\partial}{\partial y_{j}}) j = 1, \dots, n

und

\frac{\partial}{\partial {\bar{z}}_{j}} : = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_{j}} + i \frac{\partial}{\partial y_{j}}) j = 1, \dots, n

auf $ℂ^{n}$ . Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

\partial f : = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial z_{j}} f d z_{j}

und

\overline{\partial} f : = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial {\overline{z}}_{j}} f d {\overline{z}}_{j}

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass $f$ genau dann holomorph ist, wenn $\overline{\partial} f = 0$ gilt und die reelle Ableitung wird durch

d f = \overline{\partial} f + \partial f

dargestellt. Im holomorphen Fall gilt $d f = \partial f$ , da ja $\overline{\partial} f = 0$ gilt.

Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten

Vorlage:Hauptartikel

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

Weblinks

Vorlage:MathWorld

Literatur

Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.
Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.

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