Kohärente Garbe

Definition

Es sei $X$ ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe $𝒪_{X}$ von Ringen. Dann heißt eine $𝒪_{X}$ -Modulgarbe $ℳ$ kohärent, wenn

$ℳ$ endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt $x$ von $X$ hat eine offene Umgebung $U$ , auf der eine Surjektion $𝒪_{U}^{n} \to ℳ_{| U}$ existiert, und
für jede offene Teilmenge $U$ von $X$ und jeden Morphismus $𝒪_{U}^{n} \to ℳ_{| U}$ ist der Kern endlich erzeugt

Die kohärenten Garben bilden eine abelsche Kategorie, die stabil unter Erweiterungen ist. Das bedeutet insbesondere: Ist

0 \to ℳ^{'} \to ℳ \to ℳ^{″} \to 0

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.

Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Ist $X$ ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere $A$ ein noetherscher Ring und $X$ ein eigentliches $A$ -Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als $A$ -Moduln endlich erzeugt.

Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass $𝒪_{X}$ selbst kohärent ist, nicht trivial.
Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2