Topologische Kategorie

Eine topologische Kategorie (auch topologisch angereicherte Kategorie) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, Segal-Räume und Segal-Kategorien.

Definition

Eine topologische Kategorie $𝒞$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞$ die Hom-Mengen ${\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$ jeweils kompakt generierte Hausdorff-Räume sind (also in $\mathrm{Ob}𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen stetig sind (also in $\mathrm{Ar}𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der topologischen Kategorien wird als ${𝐂𝐚𝐭}_{𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬}$ notiert.

Beispiele

• $𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ ist selbst eine topologische Kategorie. Deren interner Hom-Funktor ist für topologische Räume $X,Y\in \mathrm{Ob}𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ gegeben durch die Kompakt-Offen-Topologie:

  ${𝐇𝐨𝐦}_{𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬}(Y,Z):=C_{\mathrm{c}\mathrm{o}}(Y,Z).$

Verbindung zu simplizial angereicherten Kategorien

Sei $𝐬𝐒𝐞𝐭$ die Kategorie der simplizialen Mengen, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|:𝐬𝐒𝐞𝐭\to 𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ und der singuläre Funktor $\mathrm{Sing}:𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬\to 𝐬𝐒𝐞𝐭$ eine Adjunktion $|-|:𝐬𝐒𝐞𝐭\leftrightarrows 𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬:\mathrm{Sing}$ mit $|-|⊣\mathrm{Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie $𝒞$ erzeugt damit eine topologische Kategorie $|𝒞|$ durch:

$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞:{\mathrm{Hom}}_{|𝒞|}(X,Y):=|{\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)|.$

Eine topologische Kategorie $𝒞$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie $\mathrm{Sing}(𝒞)$ durch:

$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞:{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sing}(𝒞)}(X,Y):=\mathrm{Sing}({\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)).$

Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|:{𝐂𝐚𝐭}_{𝐬𝐒𝐞𝐭}\leftrightarrows {𝐂𝐚𝐭}_{𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬}:\mathrm{Sing}$ mit $|-|⊣\mathrm{Sing}$.

Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie

Die Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie $𝒞$ ist die Kategorie $\mathrm{Ho}(𝒞)$ mit:

$\mathrm{Ob}\mathrm{Ho}(𝒞)=\mathrm{Ob}𝒞$

$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathrm{Ob}\mathrm{Ho}(𝒞)=\mathrm{Ob}𝒞:{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ho}(𝒞)}(X,Y)={\pi }_0{\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)\cong {\pi }_0\mathrm{Sing}({\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y))$

Dabei sind ${\pi }_0:𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬\to 𝐒𝐞𝐭$ die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes und ${\pi }_0:𝐬𝐒𝐞𝐭\to 𝐒𝐞𝐭$ die Zusammenhangskomponenten einer simplizialen Menge, wobei ${\pi }_0={\pi }_0\circ \mathrm{Sing}$.

Zusammen mit der Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie ist diese Operation verträglich mit den obigen Umwandlungen von topologischen und simplizial angereicherten Kategorien ineinander: Für eine topologische Kategorie $𝒞$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\mathrm{Ho}(𝒞)\cong \mathrm{Ho}(\mathrm{Sing}(𝒞))$ und für eine simplizial angereicherte Kategorie $𝒞$ einen kanonischen Isomorphismus $\mathrm{Ho}(𝒞)\cong \mathrm{Ho}(|𝒞|)$.

Literatur

• Vorlage:Cite book
• Vorlage:Cite book

Weblinks

• topologically enriched category auf nLab (englisch)
• Jacob Lurie, Kerodon (ergänzter Inhalt von Higher Topos Theory)