Simplizial angereicherte Kategorie

Eine simplizial angereicherte Kategorie (oft auch kurz simpliziale Kategorie, obwohl es dabei zu Verwechselungen kommen kann) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der simplizialen Mengen angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, topologische Kategorien, Segal-Räume und Segal-Kategorien.

Definition

Eine simplizial angereicherte Kategorie $𝒞$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $𝐬𝐒𝐞𝐭$ der simplizialen Mengen angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞$ die Hom-Mengen ${\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$ jeweils simpliziale Mengen sind (also in $\mathrm{Ob}𝐬𝐒𝐞𝐭$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen auch Morphismen zwischen simplizialen Mengen sind (also in $\mathrm{Ar}𝐬𝐒𝐞𝐭$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der simplizial angereicherten Kategorien wird als ${𝐂𝐚𝐭}_{𝐬𝐒𝐞𝐭}$ notiert.

Beispiele

• $𝐬𝐒𝐞𝐭$ ist selbst eine simplizial angereicherte Kategorie. Deren interner Hom-Funktor ist für simpliziale Mengen $Y,Z\in \mathrm{Ob}𝐬𝐒𝐞𝐭$ gegeben durch:

  ${𝐇𝐨𝐦}_{𝐬𝐒𝐞𝐭}(Y,Z{)}_n:=\mathrm{Hom}({\mathrm{\Delta }}^n\times Y,Z).$

Verbindung zu topologischen Kategorien

Sei $𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ die Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|:𝐬𝐒𝐞𝐭\to 𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬$ und der singuläre Funktor $\mathrm{Sing}:𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬\to 𝐬𝐒𝐞𝐭$ eine Adjunktion $|-|:𝐬𝐒𝐞𝐭\leftrightarrows 𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬:\mathrm{Sing}$ mit $|-|⊣\mathrm{Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie $𝒞$ erzeugt damit eine topologische Kategorie $|𝒞|$ durch:

$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞:{\mathrm{Hom}}_{|𝒞|}(X,Y):=|{\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)|.$

Eine topologische Kategorie $𝒞$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie $\mathrm{Sing}(𝒞)$ durch:

$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞:{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sing}(𝒞)}(X,Y):=\mathrm{Sing}({\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)).$

Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|:{𝐂𝐚𝐭}_{𝐬𝐒𝐞𝐭}\leftrightarrows {𝐂𝐚𝐭}_{𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬}:\mathrm{Sing}$ mit $|-|⊣\mathrm{Sing}$.

Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie

Die Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie $𝒞$ ist:

$\mathrm{Ob}\mathrm{Ho}(𝒞)=\mathrm{Ob}𝒞$

$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞=\mathrm{Ob}\mathrm{Ho}(𝒞):{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ho}(𝒞)}(X,Y)={\pi }_0{\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)\cong {\pi }_0|{\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)|$

Dabei sind ${\pi }_0:𝐬𝐒𝐞𝐭\to 𝐒𝐞𝐭$ die Zusammenhangskomponenten einer simplizialen Menge und ${\pi }_0:𝐜𝐠𝐇𝐚𝐮𝐬\to 𝐒𝐞𝐭$ die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes, wobei ${\pi }_0={\pi }_0\circ |-|$.

Zusammen mit der Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie ist diese Operation verträglich mit den obigen Umwandlungen von topologischen und simplizial angereicherten Kategorien ineinander: Für eine topologische Kategorie $𝒞$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\mathrm{Ho}(𝒞)\cong \mathrm{Ho}(\mathrm{Sing}(𝒞))$ und für eine simplizial angereicherte Kategorie $𝒞$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\mathrm{Ho}(𝒞)\cong \mathrm{Ho}(|𝒞|)$.

Literatur

• Vorlage:Cite book
• Vorlage:Cite book

Weblinks

• simplicially enriched category auf nLab (englisch)
• Jacob Lurie, Kerodon (ergänzter Inhalt von Higher Topos Theory)