Unendlich-Kategorie

In der Mathematik ist der Begriff der Unendlich-Kategorie, $\mathrm{\infty }$-Kategorie oder Quasikategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kategorie.

Während man in einer Kategorie Morphismen zwischen Objekten und in einer 2-Kategorie zusätzlich 2-Morphismen zwischen Morphismen hat, gibt es in einer Unendlich-Kategorie $k$-Morphismen zwischen $k-1$-Morphismen für alle $k=1,2,\dots$

Definition

Eine Unendlich-Kategorie ist eine simpliziale Menge $S_{*}$, die die schwache Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für $0<i<n$ kann jede simpliziale Abbildung ${\sigma }_0:{\mathrm{\Lambda }}_i^n\to S_{*}$ zu einer simplizialen Abbildung $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^n\to S_{*}$ fortgesetzt werden.

Dabei bezeichnet ${\mathrm{\Delta }}^n$ den $n$-dimensionalen Standardsimplex und ${\mathrm{\Lambda }}_i^n$ das durch Weglassen von ${\partial }_i{\mathrm{\Delta }}^n$ aus $\partial {\mathrm{\Delta }}^n$ entstehende „Horn“.

Beispiele

• Kan-Komplexe sind Unendlich-Kategorien, bei denen die gewünschte Fortsetzung auch für $i=0$ und $i=n$ stets existiert.
• Der Nerv einer kleinen Kategorie ist eine Unendlich-Kategorie, in der die gewünschte Fortsetzung stets eindeutig ist. Umgekehrt ist eine Unendlich-Kategorien mit eindeutigen Fortsetzungen isomorph zum Nerven einer kleinen Kategorie.
• Das Produkt und Koprodukt (als simpliziale Mengen) von Unendlich-Kategorien ist eine Unendlich-Kategorie.

Objekte, Morphismen und Funktoren

Ein Objekt einer Unendlich-Kategorie ist ein 0-Simplex $x\in S_0$. Ein Morphismus einer Unendlich-Kategorie ist ein 1-Simplex $f\in S_1$. Seine Ränder $X=d_{1}f$ und $Y=d_{0}f$ heißen Quelle und Ziel des Morphismus. Man sagt dann, $f$ ist ein Morphismus von $X$ nach $Y$. Für jedes Objekt $X$ wird die degenerierte Kante $s_0(X)$ als Identitätsmorphismus ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ von $X$ bezeichnet.

Eine Homotopie zwischen zwei Morphismen $f,g:X\to Y$ ist ein 2-Simplex $\sigma$ mit $d_0\sigma ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$, $d_1\sigma =f$ und $d_2\sigma =g$.

Ein Morphismus $h:X\to Z$ heißt Komposition zweier Morphismen $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$, wenn es einen 2-Simplex $\sigma$ mit $d_0\sigma =g,d_1\sigma =h,d_2\sigma =f$ gibt. Die schwache Kan-Eigenschaft garantiert, dass eine Komposition von $g$ nach $f$ stets existiert, sie ist aber nur bis auf Homotopie eindeutig bestimmt.

Die Homotopie-Kategorie $h𝒞$ einer Unendlich-Kategorie $𝒞$ hat als Objekte die Objekte von $𝒞$ und als Morphismen die Homotopieklassen von Morphismen in $𝒞$. Die Homotopieklasse von ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ ist der Identitätsmorphismus von $X$ in $h𝒞$ und die wohldefinierte Komposition von Homotopieklassen definiert die Komposition von Morphismen.

Ein Isomorphismus in der Unendlich-Kategorie $𝒞$ ist ein Morphismus, dessen Homotopieklasse ein Isomorphismus in $h𝒞$ ist.

Ein Funktor von Unendlich-Kategorien ist eine simpliziale Abbildung $F:𝒞\to 𝒟$. Auf der Menge der Funktoren $𝒞\to 𝒟$ ist wieder die Struktur einer Unendlich-Kategorie erklärt. Sie wird mit $\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}(𝒞,𝒟)$ bezeichnet.

Weblinks

• Jacob Lurie: Kerodon