Skorochod-Integral

Das Skorochod-Integral (auch Hitsuda-Skorochod-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin-Kalküls. Das Integral ist eine Erweiterung des Itō-Integrals bezüglich der brownschen Bewegung für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz. Das Skorochod-Integral ist der Divergenz-Operator des Malliavin-Kalküls im Falle des weißen Rauschens, d. h. wenn der zugrundeliegende Hilbert-Raum ein σ-endlicher L²-Raum ist, und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperators. Bei allgemeinen Hilbert-Räumen spricht man vom Divergenz-Operator, statt vom Skorochod-Integral. Alternativ lässt sich das Skorochod-Integral auch über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Das Skorochod-Integral ist kein klassisches Integral, da es viele der üblichen Integral-Eigenschaften nicht mehr besitzt, wenn der Integrand allerdings adaptiert ist, dann stimmt es mit dem Itō-Integral überein.

Um den entsprechenden Kalkül von dem des Ogawa-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom vorwegnehmenden Kalkül oder vorausschauenden Kalkül (Vorlage:EnS) beim Skorochod-Integral und vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral.

Das Hitsuda-Skorochod-Integral wurde 1972 (^[1]) von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhängig davon 1975 (^[2]) von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingeführt.

Skorochod-Integral

Sei

$(Ω, ℱ, P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum,
$H$ ein separabler Hilbertraum,
${e_{n}, n \geq 1}$ eine vollständige Orthonormalbasis von $H$ ,
${W (h), h \in H}$ ein isonormaler Gauß-Prozess,
$ℱ = σ (W)$ ,
$Λ$ der Raum der Folgen mit endlichen Gliedern ungleich Null.

Für ein $a \in Λ$ definiere

$a! = \prod_{i = 1}^{\infty} a_{i}!$ und $| a | = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i}$ .

Betrachte nun den Fall des weißen Rauschens $H = L^{2} (T, ℬ, μ)$ , wobei $μ$ σ-endlich und atomlos auf dem messbaren Raum $(T, ℬ)$ ist.

Definition über die Malliavin-Ableitung

Sei $D : 𝔻^{1, 2} \to L^{2} (Ω; H)$ der Malliavin-Ableitungsoperator. Der Divergenz-Operator oder das Skorochod-Integral besitzt als Domäne alle Zufallsvariablen $X \in L^{2} (Ω; H)$ , so dass

| 𝔼 [⟨ D U, X ⟩_{H}] | \leq c ‖ U ‖_{L^{2} (Ω)}

für alle $U \in 𝔻^{1, 2}$ gilt, wobei $c$ eine Konstante ist, welche von $U$ abhängt.

Das Skorochod-Integral ist der unbeschränkte Operator $δ : L^{2} (Ω; H) \to L^{2} (Ω; ℝ)$ definiert für ein $X \in dom (δ)$ durch

𝔼 [U δ (X)] = 𝔼 [⟨ D U, X ⟩_{H}],

welches für alle $U \in 𝔻^{1, 2}$ gilt.^[3]

Die Domäne $𝔻^{1, 2}$ ist der Malliavin-Sobolew-Raum (oder Watanabe-Sobolew-Raum). Sei $X \in dom (δ) \subset L^{2} (Ω \times T) ≅ L^{2} (Ω; H)$ ein Prozess, man verwendet für das Skorochod-Integral auch folgende Integral-Notation

δ (X) = \int_{T} X_{s} δ W_{s} .

Bemerkung

In Integral-Notation wird die Definition über die Malliavin-Ableitung zu

𝔼 [U \int_{T} X_{s} δ W_{s}] = 𝔼 [\int_{T} D_{t} U X_{t} d t] .

Das Skorochod-Integral lässt sich auch als Prozess darstellen ${δ (x 1_{[0, t]}), t \in (0, | T |)}$ .^[4]

Ist $x$ an $ℱ_{t}^{W} = σ (W_{s}, s \leq t)$ adaptiert, so stimmt das Integral mit dem Itō-Integral überein.

Definition über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung

Sei $H^{\hat{\otimes} n}$ der $n$ -fache symmetrische Tensorproduktraum von $H$ ausgestattet mit der Norm $\sqrt{n!} ‖ \cdot ‖_{H^{\otimes n}}$ . Weiter sei $H = ⨁_{n = 0}^{\infty} ℋ_{n}$ die Wiener-Chaos-Zerlegung, $ℋ_{n}$ das $n$ -te Wiener-Chaos und $a \in Λ$ ein Multiindex mit $| a | = n$ . Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung $n$ die lineare Isometrie $I_{n} : H^{\hat{\otimes} n} \to ℋ_{n}$ definiert durch

I_{n} (symm (\otimes_{i = 1}^{\infty} e_{i}^{\otimes a_{i}})) = \frac{1}{\sqrt{a!}} \prod_{i = 1}^{\infty} H_{a_{i}} (W (e_{i}))

wobei $H_{a_{i}}$ das $a_{i}$ -te Hermite-Polynom ist. Nach der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung gilt für einen Prozess $X = (X_{t})_{t \in T} \in L^{2} (T \times Ω)$ die Zerlegung

X_{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} I_{n} (f_{n} (t_{1}, \dots, t_{n}, t)),

wobei $f_{n} \in L^{2} (T^{n + 1})$ symmetrisch in den ersten $n$ Variablen ist. Sei nun

{\tilde{f}}_{n} (t_{1}, \dots, t_{n}, t) = \frac{1}{n + 1} (f_{n} (t_{1}, \dots, t_{n}, t) + \sum_{i = 1}^{n} f_{n} (t_{1}, \dots, t_{i - 1}, t, t_{i + 1}, \dots, t_{n}, t_{i}))

die vollständige Symmetrisierung von $f_{n}$ , dann ist das Skorochod-Integral definiert als

δ (X) = \int_{T} X_{t} δ W_{t} : = \sum_{n = 0}^{\infty} I_{n + 1} ({\tilde{f}}_{n})

und diese Reihe konvergiert genau dann in $L^{2} (Ω)$ wenn $X \in dom (δ)$ .^[5]

Eigenschaften

Sei $F \in 𝔻^{1, 2}$ und $U \in dom δ$ so, dass $F U \in L^{2} (Ω; H)$ . Weiter sei $F δ (U) - ⟨ D F, U ⟩_{H} \in L^{2} (Ω)$ . Dann gilt $F U \in dom δ$ und

δ (F U) = F δ (U) - ⟨ D F, U ⟩_{H} .

^[6]

Einzelnachweise

↑ Vorlage:Literatur
↑ Vorlage:Literatur
↑ Vorlage:Literatur
↑ Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.
↑ Vorlage:Literatur
↑ Vorlage:Literatur

[1] Vorlage:Literatur

[2] Vorlage:Literatur

[3] Vorlage:Literatur

[4] Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.

[5] Vorlage:Literatur

[6] Vorlage:Literatur

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Skorochod-Integral

Inhaltsverzeichnis