Malliavin-Ableitung

Die Malliavin-Ableitung (auch stochastische Ableitung genannt) ist ein Begriff aus dem Malliavin-Kalkül und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezüglich des Ergebnisparameters $\omega \in \mathrm{\Omega }$. Da Zufallsvariablen meistens fast sicher definiert sind und $\mathrm{\Omega }$ im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt, versagen klassische Ableitungsbegriffe wie zum Beispiel die Fréchet-Ableitung und es muss ein neuer Differenzierungsoperator unabhängig von der topologischen Struktur definiert werden.

Die Malliavin-Ableitung ist nach dem französischen Mathematiker Paul Malliavin benannt. Der adjungierte Operator der Malliavin-Ableitung ist der Divergenz-Operator, betrachtet man einen L²-Raum und weißes Rauschen, dann nennt man diesen Skorochod-Integral.

Malliavin-Ableitung

Mit $C_p^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ notieren wir den Raum der glatten Funktionen, deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen, d. h. $|f^{(k)}(x)|\le C(1+|x{|}^n)$ für alle $k$ und ein $n$.

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und $W$ ein isonormaler Gauß-Prozess auf einem separablen Hilbert-Raum $H$ und $ℱ:=\sigma (W)$. Definiere die Klasse $𝒮\subset L^2(\mathrm{\Omega };ℝ)$ glatter Zufallsvariablen der Form

$F=f(W(h_1),\dots ,W(h_n))$

für $h_1,\dots ,h_n\in H,f\in C_p^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n,ℝ)$ und $n\in \mathbb{N}$.

Die Malliavin-Ableitung einer Zufallsvariable $F\in 𝒮$ ist die $H$-wertige Zufallsvariable

$DF=\sum _{i=1}^n{\partial }_{i}f(W(h_1),\dots ,W(h_n))h_i.$

Die Richtungsableitung nach $h\in H$ ist dann definiert als

$D_{h}F=⟨DF,h{⟩}_H=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon }[f(W(h_1)+\epsilon ⟨h_1,h{⟩}_H,\dots ,W(h_n)+\epsilon ⟨h_n,h{⟩}_H)-f(W(h_1),\dots ,W(h_n))].$

Erläuterungen

• Die Ableitung hängt nicht von der Darstellung von $F$ ab.
• Der Operator $D$ ist abschließbar von $L^p(\mathrm{\Omega })$ nach $L^p(\mathrm{\Omega };H)$ für $p\ge 1$ und dieser eindeutige Abschluss wird wieder mit $D$ notiert.
• Wir definieren die $k$-te Ableitung als die $H^{\otimes k}$-wertige Zufallsvariable durch die Iteration $D^{k}F:=D{D}^{k-1}F$.
• Die Domäne von $D^k$ in $L^p(\mathrm{\Omega })$, d. h. die Vervollständigung von $𝒮$ bezüglich der Malliavin-Sobolew-Norm definiert durch

$\Vert F{\Vert }_{k,p}={[𝔼[|F{|}^p]+\sum _{j=1}^k𝔼[\Vert D^{j}F{\Vert }_{H^{\otimes j}}^p]]}^{1/p},$

notieren wir mit ${𝔻}^{k,p}$. Der Raum wird manchmal auch als Watanabe-Sobolew-Raum bezeichnet.

• Falls $g\in C_p^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^d,ℝ)$ und $Z=(Z_1,\dots ,Z_d)$ mit $\mathrm{\forall }j=1,\dots ,d,Z_j\in {𝔻}^{1,2}$, dann gilt $g(Z)\in {𝔻}^{1,2}$ und die Kettenregel

$Dg(Z)=\sum _{i=1}^d{\partial }_{i}g(Z)D{Z}_i.$

• Für $H=L^2(T)$ ist die Ableitung ein Prozess wegen der Identifikation $L^2(\mathrm{\Omega };H)\cong L^2(T\times \mathrm{\Omega })$ und häufig als $\{D_{t}F,t\in T\}$ respektive allgemeiner für $F\in {𝔻}^{k,p}$ mit der Identifikation $L^2(\mathrm{\Omega };H^{\otimes k})\cong L^2(T^k\times \mathrm{\Omega })$ als $\{D_{t_1,\dots ,t_k}^{k}F,t_i\in T\}$ notiert.
• Der adjungierte Operator von $D$ wird Divergenzoperator genannt und üblicherweise mit $\delta$ notiert. Im $L^2$-Fall für weißem Rauschen nennt man diesen Skorochod-Integral.
• Durch Tensorierung können wir die Definition auf Hilbert-wertige Variablen $𝒮(V):=𝒮\otimes V$ erweitern und erhalten eine Abbildung $𝒮(V)\subset L^p(\mathrm{\Omega };V)$ nach $L^p(\mathrm{\Omega };H^{\otimes k}\otimes V)$.
• Es existiert auch eine Erweiterung zu einem Banach-wertigen Operator $D:{𝔻}^{k,p}\to L^p(\mathrm{\Omega };\gamma (H,E))$, wobei $\gamma (H,E)$ das Operator-Ideal der $\gamma$-radonifizierten Operatoren ist.

Beispiele

• Wir betrachten das kanonische Modell $\mathrm{\Omega }=C_0([0,1];ℝ)$ und $H=L^2([0,1];ℝ)$ und

$F=f(W(t_1),\dots ,W(t_n)),f\in C_p^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n),0\le t_1<\cdots <t_n\le 1$

mit weißem Rauschen

$W(t_i):=W(1_{[0,t_i]})=\underset{0}{\overset{t_i}{\int }}\mathrm{d}{W}_t,$

dann ist die Ableitung in Richtung $h\in H$ gegeben durch

$\begin{array}{cc}⟨DF,h{⟩}_H& =\sum _{i=1}^n{\partial }_{i}f(W(h_1),\dots ,W(h_n))\underset{0}{\overset{t_i}{\int }}h(s)\mathrm{d}s\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon }F(\omega +\epsilon \underset{0}{\overset{\cdot }{\int }}h(s)\mathrm{d}s){|}_{\epsilon =0}.\end{array}$

Partielle Integration

Sei $F,G\in 𝒮$ und $h\in H$, dann gilt

$𝔼[⟨DF,h{⟩}_H]=𝔼[FW(h)]$

und daraus folgt

$𝔼[G⟨DF,h{⟩}_H]=𝔼[-F⟨DG,h{⟩}_H+FGW(h)].$

Literatur

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