Isonormaler Gauß-Prozess

Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum $H$, der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L²-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.

Isonormaler Gauß-Prozess

Sei $(H,⟨,{⟩}_H)$ ein separabler Hilbertraum über $ℝ$. Ein isonormaler Gauß-Prozess auf $H$ ist ein stochastischer Prozess

$W=\{W(h),h\in H\},$

definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$, so dass $W$ eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und

$𝔼[W(h)W(g)]=⟨h,g{⟩}_H$

für alle $h,g\in H$ gilt.

Erläuterungen

Aus der Definition folgt, dass die Abbildung $W:h\mapsto W(h)$ eine lineare Isometrie

$W:H\to {\mathscr{H}}_1\subset L^2(\mathrm{\Omega },𝒜,P;ℝ)$

ist, denn für $\lambda ,\mu \in ℝ$ und $h,g\in H$ gilt

$\begin{array}{cc}𝔼\left[{(W(\lambda h+\mu g)-\lambda W(h)-\mu W(g))}^2\right]& =\Vert \lambda h+\mu g{\Vert }_H^2+{\lambda }^2\Vert h{\Vert }_H^2+{\mu }^2\Vert g{\Vert }_H^2\\ & -2\lambda ⟨\lambda h+\mu g,h{⟩}_H-2\mu ⟨\lambda h+\mu g,g{⟩}_H+2\lambda \mu ⟨h,g{⟩}_H\\ & =0.\end{array}$

Somit $P$-fast sicher $W(\lambda h+\mu g)=\lambda W(h)+\mu W(g)$. Aus der Linearität folgt auch sofort, dass $W$ wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum $H_1$ ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein.

Existenz

Fixiere eine Orthonormalbasis $h_0,h_1,\dots \in H$ und betrachte ${\xi }_0,{\xi }_1,\dots$ iid und ${\xi }_i\sim 𝒩(0,1),\mathrm{\forall }i$.

Für ein beliebiges $h=\sum _j{b}_j{h}_j\in H$ definiere $W(h):=\sum _j{b}_j{\xi }_j$, wobei die Reihe fast sicher und in $L^2(\mathbb{P})$ konvergiert, da $\sum _j{b}_j^2<\mathrm{\infty }.$ Sei nun $W(g):=\sum _j{a}_j{\xi }_j$, dann gilt

$𝔼[W(h)W(g)]=\sum _{i,j}{a}_i{b}_j𝔼[{\xi }_j{\xi }_i]=\sum _i{a}_i{b}_i=⟨h,g⟩$.

Beispiel

Weißes Rauschen

Sei $H:=L^2(T,ℬ,\mu )$, wobei $(T,ℬ)$ ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß $\mu$. Dann definieren wir den Prozess

$W:=\{W(A),A\in ℬ,\mu (A)<\mathrm{\infty }\}$

durch

$W(A):=W(1_A).$

Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß $W:(T,ℬ)\to L^2(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$, so dass

$W(A)\sim 𝒩(0,\mu (A))$

falls $\mu (A)<\mathrm{\infty }$. $W$ nennt man Weißes Rauschen basierend auf $\mu$ und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.

Ist $T={ℝ}_{\ge 0}^d$ und $\mu$ das Lebesgue-Maß, dann ist $B_t:=W([0,t{)}^d)$ das $d$-parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.

Analog für $H=L^2(T,ℬ,\mu ;{ℝ}^n)$ mit $T:=R_{\ge 0}^d$ und Lebesgue-Maß $\mu$ definiert

$B_t^{(n)}:=W([0,t{)}^d\otimes e_n),t\ge 0$

das $(d,n)$-Brownsche Blatt $B_t=(B_t^{(1)},\dots ,B_t^{(n)})$ mit Kovarianz

$𝔼[B_t^{(n)}{B}_s^{(m)}]=𝔼[W([0,t{)}^d\otimes e_n)W([0,s{)}^d\otimes e_m)]=⟨1_{[0,t{)}^d}\otimes e_n,1_{[0,s{)}^d}\otimes e_m⟩=\prod _{i=1}^d{\delta }_{n,m}(t\wedge s),$

für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden. Sei nun $d=1$, dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich $W$

$W(h)=\sum _{k=1}^n\underset{T}{\int }{h}^k(s)d{B}_s^{(k)},$

und somit ein isonormaler Gauß-Prozess $W=\{W(h):h\in L^2(T,{ℝ}^n)\}$.