Semiendliche Von-Neumann-Algebra

Semiendliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Von-Neumann-Algebren ohne Typ III-Anteil.

Definition

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ enthält eine größte Orthogonalprojektion $p_{\mathrm{\infty }}$ in ihrem Zentrum, so dass $p_{\mathrm{\infty }}A$ eine Von-Neumann-Algebra vom Typ III ist. $A$ heißt semiendlich, falls $p_{\mathrm{\infty }}=0$.

Beispiele

• Endliche Von-Neumann-Algebren sind semiendlich.
• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind semiendlich.
• Typ I- und Typ II Von-Neumann-Algebren sind semiendlich.
• Die Von-Neumann-Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ist semiendlich.

Eigenschaften

Spuren

Semiendliche Von-Neumann-Algebren $A$ zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein semiendliches, normales, treues Spurgewicht besitzen, das heißt, es gibt eine Abbildung $\varphi :A^{+}\to [0,\mathrm{\infty }]$ auf der Menge der positiven Elemente von $A$ mit folgenden Eigenschaften:

• $\varphi (a+\lambda b)=\varphi (a)+\lambda \varphi (b)$ für alle $a,b\in A^{+}$ und $\lambda \in {ℝ}^{+}$ mit den üblichen Konventionen für das Rechnen mit unendlich.
• $\varphi (u^{*}au)=\varphi (a)$ für alle $a\in A^{+}$ und alle unitären Elemente $u\in A$.
• Für jedes $a\in A^{+}$ ist $\varphi (a)$ das Supremum der $\varphi (b)$ mit $b\in A^{+}$, $b\le a$ und $\varphi (b)<\mathrm{\infty }$ (Semiendlichkeit der Spur).
• Für jedes aufsteigende Netz $(a_i{)}_{i\in I}$ in $A^{+}$ mit Supremum $a\in A^{+}$ gilt $\varphi (a)=\underset{i\in I}{\sup }\varphi (a_i)$ (Normalität der Spur).
• Für jedes $a\in A^{+}$ folgt $a=0$ aus $\varphi (a)=0$ (Treue der Spur).

Im unten angegebenen Lehrbuch Von Neumann Algebras von Jacques Dixmier ist dies die Definition der semiendlichen Von-Neumann-Algebren.

Vererbungseigenschaften

Die Kommutante einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra ist wieder semiendlich. Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann semiendlich, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist, deren Kommutante eine endliche Von-Neumann-Algebra ist.

Tensorprodukte endlich vieler semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich. Beliebige direkte Produkte semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.

Da die Algebra $L(H)$ aller beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum semiendlich ist, kann es keine Vererbung dieser Eigenschaft auf Unteralgebren geben, denn jede Von-Neumann-Algebra ist ja Unteralgebra einer solchen Algebra $L(H)$.

Hilbert-Algebren

Vorlage:Hauptartikel Die seminendlichen Von-Neumann-Algebren sind genau diejenigen von Neumann-Algebren, die isomorph zur links-assoziierten Von-Neumann-Algebra einer Hilbertalgebra sind.

Tomita-Takesaki-Theorie

In der Tomita-Takesaki-Theorie zeigt man, dass eine Von-Neumann-Algebra genau dann semiendlich, wenn ihre modulare Gruppe inner ist. Genauer gilt: Ist $\phi$ ein treuer, normaler Zustand auf einer Von-Neumann-Algebra $A$ und $t\mapsto {\sigma }_t^{\phi }$ die zugehörige modulare Gruppe, so ist $A$ genau dann semiendlich, wenn es einen im Allgemeinen unbeschränkten, positiven und injektiven Operator $h$ gibt mit

1. $h=uh{u}^{*}$ für alle unitären Operatoren $u\in A^{\text{'}}$
2. ${\sigma }_t^{\phi }(a)=h^{it}a{h}^{-it}$ für alle $t\in ℝ$ und $a\in A$.

Wäre $h$ beschränkt, so würde dieser Operator gemäß der ersten Bedingung mit jedem unitären Operator aus der Kommutante $A^{\text{'}}$ kommutieren, und daher mit jedem Operator aus $A^{\text{'}}$, und er wäre daher nach dem Bikommutantensatz ein Element aus $A$. In diesem Sinne "gehört" also der unbeschränkte Operator $h$ zu $A$. Mit dem unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt sich, dass die Operatoren $h^{it}$ unitäre Operatoren aus $A$ sind, das heißt, die ${\sigma }_t^{\phi }$ sind innere Automorphismen.