Endliche Von-Neumann-Algebra

Endliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um Von-Neumann-Algebren, deren Projektionen einer gewissen Endlichkeitsbedingung genügen.

Definitionen

Es sei $A$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$. Projektionen sind Elemente aus $A$ mit der Eigenschaft $e=e^{*}=e^2$. Den Arbeiten von Murray und von Neumann über die heute sogenannten Von-Neumann-Algebren lag die Idee zu Grunde, Projektionen in Analogie zu Mengen zu untersuchen. Die Äquivalenz zweier Projektionen wird in Analogie zur Gleichmächtigkeit von Mengen definiert: $e_1$ und $e_2$ heißen äquivalent, wenn es ein $v\in A$ gibt mit $e_1=v^{*}v$ und $e_2=v{v}^{*}$; man schreibt $e_1\sim e_2$. Der Teilmengenbeziehung entspricht die Teilmengenbeziehung der projizierten Räume, das heißt man definiert $e_1\le e_2$ als $e_1(H)\subset e_2(H)$. Da eine Menge genau dann endlich ist, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, definiert man im Sinne der hier verfolgten Analogie:

Eine Projektion $e\in A$ heißt endlich, falls $e\sim e_1\le e$ nur für $e=e_1$ möglich ist. Man beachte, dass dieser Endlichkeitsbegriff von $A$ abhängt, da der Äquivalenzbegriff von $A$ abhängt.

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ heißt endlich, wenn das Einselement $1={\mathrm{i}\mathrm{d}}_H$ als Projektion aus $A$ endlich ist.

Beispiele

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind endlich, denn für diese ist die Äquivalenz von Projektionen mit deren Gleichheit gleichbedeutend.
• Die endlichdimensionalen Algebren $A=L({ℂ}^n)$ über einem endlichdimensionalen Hilbertraum sind endlich, denn äquivalente Projektionen haben gleiche Dimension.
• Die Algebra $L({\ell }^2)$ über dem Folgenraum ${\ell }^2$ ist nicht endlich, denn ist $s\in L({\ell }^2)$ der Shiftoperator, so ist $1=s^{*}s\sim s{s}^{*}<1$.
• Es sei $G$ eine diskrete Gruppe. Jedes Element $g\in G$ operiert als Linksoperator $l_g$ und als Rechtsoperator $r_g$ auf dem Hilbertraum ${\ell }^2(G)$ in dem man $(l_g(x))(h):=x(g^{-1}h)$ und $(r_g(x))(h):=x(h{g}^{-1})$ definiert. Es seien $L_G$ und $R_G$ die von $\{l_g;g\in G\}$ bzw. $\{r_g;g\in G\}$ erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind $L_G$ und $R_G$ endlich und gegenseitige Kommutanten.

Die Spur auf einer endlichen Von-Neumann-Algebra

Ist $A$ eine endliche Von-Neumann-Algebra mit Zentrum $Z$, so gibt es genau eine lineare Abbildung $\tau :A\to Z$ mit folgenden Eigenschaften:

• $\tau$ ist positiv, das heißt aus $a\ge 0$ folgt $\tau (a)\ge 0$
• $\tau$ ist eine Spur, das heißt $\tau (ab)=\tau (ba)$ für alle $a,b\in A$
• $\tau$ ist eine Projektion auf $Z$, das heißt $\tau (z)=z$ für alle $z\in Z$.

Die eindeutig bestimmte Spur heißt die kanonische Spur auf $A$. Sie hat zusätzlich folgende Eigenschaften:

• $\tau$ ist strikt positiv, das heißt $a>0$ folgt $\tau (a)>0$
• $\tau$ ist $Z$-Morphismus, das heißt $\tau (za)=z\tau (a)$ für alle $a\in A,z\in Z$.
• $\tau$ ist eine Kontraktion, das heißt $\Vert \tau (a)\Vert \le \Vert a\Vert$ für alle $a\in A$
• $\tau$ ist ultraschwach stetig.

Ist umgekehrt $A$ eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum $Z$ und einer strikt positiven Spur $\tau :A\to Z$, so ist $A$ endlich. Ist nämlich $e_1\sim e_2\le e_1$, so gibt es $v\in A$ mit $e_1=v^{*}v$ und $e_2=v{v}^{*}$. Daraus folgt $e_2-e_1\ge 0$ und $\tau (e_2-e_1)=\tau (v{v}^{*})-\tau (v^{*}v)=0$ wegen der Spureigenschaft und dann $e_2-e_1=0$ wegen der strikten Positivität. Daher ist jede Projektion in $A$ endlich, woraus sich die Endlichkeit von $A$ ergibt.

Weitere Charakterisierungen

Typen endlicher Von-Neumann-Algebren

In der Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren sind genau die Typ I_n Algebren mit $n<\mathrm{\infty }$ und die Typ II₁ Algebren endlich.

Unitäre Äquivalenz von Projektionen

Zwei Projektionen $e_1,e_2$ einer Von-Neumann-Algebra $A$ heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres Element $u\in A$ (d. h. $1=u^{*}u=u{u}^{*}$) gibt mit $e_1=u^{*}{e}_{2}u$. Aus der unitären Äquivalenz folgt die gewöhnliche, oben definierte Äquivalenz, denn aus der definierenden Gleichung folgt $e_1=u^{*}{e}_{2}u=(e_{2}u{)}^{*}(e_{2}u)$ und $(e_{2}u)(e_{2}u{)}^{*}=e_{2}u{u}^{*}{e}_2=e_{2}1e_2=e_2^2=e_2$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn Äquivalenz und unitäre Äquivalenz übereinstimmen.

Stetigkeit der Involution

Die Involution auf einer Von-Neumann-Algebra ist im Allgemeinen nicht stetig bzgl. der starken Operatortopologie, wie man am Beispiel des unilateralen Shiftoperators $s\in L({\ell }^2)$ zeigen kann, denn für alle $\xi =({\xi }_n{)}_n\in {\ell }^2$ gilt $\Vert {s^n}^{*}\xi \Vert =\Vert ({\xi }_{n+1},{\xi }_{n+2},\dots )\Vert \to 0$, aber $\Vert s^n\xi \Vert =\Vert \xi \Vert$, was für von 0 verschiedenes $\xi$ nicht gegen 0 konvergiert. In endlichen Von-Neumann-Algebren kann so etwas nicht passieren.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn die Involution auf allen beschränkten Mengen stark-stetig ist.