Schottky-Gruppe

Fundamentalbereich einer von 3 loxodromischen Isometrien erzeugten Schottky-Gruppe

In der Mathematik sind Schottky-Gruppen gewisse Kleinsche Gruppen, die erstmals 1877 von Friedrich Schottky untersucht wurden.

Konstruktion

Klassische Schottky-Gruppen

Wir betrachten die Riemannsche Zahlenkugel $P^1ℂ=ℂ\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$ mit der Wirkung von $SL(2,ℂ)$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Man nehme $2k$ paarweise disjunkte Kreisscheiben

$C_{-1},C_1,\dots ,C_{-k},C_k$

in $ℂ\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$. Für $i=1,\dots ,k$ gibt es Abbildungen ${\theta }_i\in SL(2,ℂ)$, die jeweils das Innere von $C_{-i}$ bijektiv auf das Äußere von $C_i$ abbilden. Die von ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_k$ erzeugte Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset SL(2,ℂ)$ ist eine (klassische) Schottky-Gruppe.

Allgemeine Schottky-Gruppen

Allgemeiner kann man $2k$ disjunkte, von Jordan-Kurven berandete Gebiete betrachten. Falls es Abbildungen ${\theta }_i\in SL(2,ℂ)$ gibt, die jeweils das Innere von $C_{-i}$ bijektiv auf das Äußere von $C_i$ abbilden, dann wird die von den ${\theta }_i$ erzeugte Gruppe als Schottky-Gruppe bezeichnet. Im Rahmen dieser allgemeineren Definition werden die im vorherigen Abschnitt definierten Gruppen dann als klassische Schottky-Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass alle Schottky-Gruppen freie Gruppen und diskrete Untergruppen von $SL(2,ℂ)$ sind. Die erste Eigenschaft folgt aus dem Kombinationssatz von Klein und die zweite aus dem Poincaréschen Polyedersatz.

Jede nicht-elementare Kleinsche Gruppe hat zahlreiche Untergruppen, die Schottky-Gruppen sind. Der Grund dafür ist, dass hinreichend hohe Potenzen gegebener loxodromischer Isometrien disjunkte "isometric circles" haben und deshalb eine Schottky-Gruppe erzeugen.

Schottky-Gruppen im hyperbolischen Raum

Hyperbolische Henkelkörper

Die Riemannsche Zahlenkugel ist der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes $H^3$, die Kreise $C_i$ beranden jeweils Halbsphären $S_i$ und die ${\theta }_i\in SL(2,ℂ)$ entsprechen jeweils loxodromischen Isometrien, welche das Äußere von $S_{-i}$ bijektiv auf das Innere von $S_i$ abbilden. Der Quotientenraum $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{H}^3$ ist dann homöomorph zum Inneren eines Henkelkörpers.

Limesmenge und Diskontinuitätsbereich

Die Limesmenge $\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma })$ einer Schottky-Gruppe ist eine Cantormenge. Das Komplement $P^1ℂ\setminus \mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma })$ ist der Diskontinuitätsbereich $\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$.

Der Quotient $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$ ist eine Riemannsche Fläche. Die Vereinigung $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }(H^3\cup \mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma }))$ ist ein Henkelkörper.

Charakterisierung von Schottky-Gruppen

Nach einem Satz von Maskit sind die folgenden Eigenschaften einer diskreten Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset SL(2,ℂ)$ äquivalent:

• $\mathrm{\Gamma }$ ist eine Schottky-Gruppe.
• $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{H}^3$ ist das Innere eines Henkelkörpers.
• $\mathrm{\Gamma }$ ist eine freie Gruppe und alle $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ sind loxodromisch.

Für diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset SL(2,ℂ)$, deren Elemente loxodromisch sind, hat Hou bewiesen, dass sie genau dann klassische Schottkygruppen sind, wenn die Hausdorffdimension ihrer Limesmenge kleiner als 1 ist.

Schottky-Uniformisierung

Eine Schottky-Uniformisierung einer Riemannschen Fläche ist gegeben durch eine Schottky-Gruppe $\mathrm{\Gamma }$, so dass $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$ biholomorph zu der gegebenen Riemannschen Fläche ist. Nach einem Satz von Koebe besitzt jede Riemannsche Fläche eine Schottky-Uniformisierung.

Man kann zu einer Riemannschen Fläche sogar zu jeder Familie homologisch unabhängiger einfacher geschlossener Kurven ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_s$ eine Schottky-Uniformisierung finden, so dass die gegebenen Kurven ${\gamma }_i$ jeweils eine Kreisscheibe im Henkelkörper $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }(H^3\cup \mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma }))$ beranden.

Literatur

• David Mumford, Caroline Series, David Wright: Indra's pearls. The vision of Felix Klein. Cambridge University Press, New York, 2002. ISBN 0-521-35253-3.

Weblinks

Caroline Series: A crash course on Kleinian groups. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 37 (2005), no. 1–2, 1–38 (2006). (S. 16–17)