Jordan-Kurve

Geschlossene Jordankurve

Offene Jordankurve

Kurve, die keine offene Jordankurve ist

Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises $S_1$ oder des Intervalls $I_1=[0;1]$ in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von $I_1$ nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von $S_1$ wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)

Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.

Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung

$\phi (t)=(\cos (t),\sin (t))$, $t\in [0,2\pi ]$

ist eine geschlossene Jordankurve.

Der Weg

$\phi (t)=(\cos (t),\sin (t))$ mit $t\in [0,3\pi ]$

liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.

$\phi (1)=\phi (2\pi +1)$.

Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Strecke

$\phi (t)=(t,0)$ mit $t\in [0,1]$

ist eine (offene) Jordankurve.

Siehe auch

• Jordanscher Kurvensatz

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 338.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 361.

Weblinks

• Jordan Curve in der Encyclopaedia of Mathematics
• Vorlage:MathWorld