Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition

Es sei $K$ ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der $n$-dimensionale projektive Raum über dem Körper $K$ ist definiert als

$P^n:=(K^{n+1}\setminus \{(0,\dots ,0)\})/\sim$

für die Äquivalenzrelation

$(x_0,\dots ,x_n)\sim (y_0,\dots ,y_n)\iff \mathrm{\exists }\lambda \in K\setminus \{0\}:x_i=\lambda y_i,i=0,\dots ,n$.

Die Äquivalenzklasse des Punktes $(x_0,\dots ,x_n)$ wird mit $[x_0:\dots :x_n]$ bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom $f\in K[X_0,\dots ,X_n]$ und einen Punkt $x=[x_0:\dots :x_n]$ ist die Bedingung $f(x_0,\dots ,x_n)=0$ unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von $x$.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

$\{x\in P^n\mid f_1(x)=\dots =f_k(x)=0\}$

für homogene Polynome $f_1,\dots ,f_k$ in $K[X_0,\dots ,X_n]$ hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d. h., die Polynome $f_1,\dots ,f_k$ sollen ein Primideal in $K[X_0,\dots ,X_n]$ erzeugen.

Beispiele

• $P^n\times P^m$ ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung

$P^n\times P^m\to P^{(n+1)(m+1)-1},(x_i,y_j)\mapsto x_i{y}_j$ (in lexikographischer Ordnung).

• Das Faserprodukt zweier projektiver Varietäten ist eine projektive Varietät.
• Hyperflächen sind Nullstellenmengen eines irreduziblen homogenen Polynoms. Jede irreduzible abgeschlossene Untermenge der Kodimension 1 ist eine Hyperfläche.
• Eine glatte Kurve (d. h. Kurve ohne Singularitäten) ist genau dann eine projektive Varietät, wenn sie vollständig ist. Ein Beispiel sind elliptische Kurven, die sich in $P^2$ einbetten lassen. (Allgemein kann jede glatte vollständige Kurve in $P^3$ eingebettet werden.) Glatte vollständige Kurven vom Geschlecht größer als 1 heißen hyperelliptische Kurven, wenn es einen endlichen Morphismus vom Grad 2 auf den $P^1$ gibt.
• Abelsche Varietäten besitzen ein amples Geradenbündel und sind deshalb projektiv. Beispiele sind elliptische Kurven, Jacobi-Varietäten und K3-Flächen.
• Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.
• Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Einbettung in ein Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten.
• Kompakte Riemannsche Flächen (kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten) sind projektive Varietäten. Nach dem Satz von Torelli werden sie durch ihre Jacobi-Varietät eindeutig bestimmt.
• Eine kompakte zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit mit zwei algebraisch unabhängigen meromorphen Funktionen ist eine projektive Varietät. (Chow-Kodaira)
• Der Kodaira-Einbettungssatz gibt ein Kriterium, wann eine Kähler-Mannigfaltigkeit eine projektive Varietät ist.

Invarianten

• Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes $K[X_0,\dots ,X_n]/I$, wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal $I$ definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
• Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von $deg:Pic(X)\to \mathbb{Z}$).

Weblinks

• Bauer et al.: Geometry and topology through projective spaces