Segre-Einbettung

Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.

Definition

Definition in homogenen Koordinaten

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${\mathbb{P}}^n$ der $n$- und ${\mathbb{P}}^m$ der $m$-dimensionale projektive Raum über $K$ mit homogenen Koordinaten $X_0,\dots ,X_n$ und $Y_0,\dots ,Y_m$.

Die Segre-Einbettung ${\sigma }_{n,m}$ von ${\mathbb{P}}^n$ und ${\mathbb{P}}^m$ ist definiert als

${\sigma }_{n,m}:{\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^m\to {\mathbb{P}}^{(n+1)(m+1)-1},([X_0:X_1:\cdots :X_n],[Y_0:Y_1:\cdots :Y_m])\mapsto [X_0{Y}_0:X_0{Y}_1:\cdots :X_i{Y}_j:\cdots :X_n{Y}_m]$,

wobei die $X_i{Y}_j$ nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild ${\mathrm{\Sigma }}_{m,n}:={\sigma }_{n,m}({\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^n)$ wird als Segre-Varietät bezeichnet.

Koordinatenfreie Definition

Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale $K$-Vektorräume $V$ und $W$ und die zugehörigen projektiven Räume $\mathbb{P}(W)$ und $\mathbb{P}(V)$ definiert man die Segre-Einbettung ${\sigma }_{V,W}$ mit Hilfe des Tensorprodukts $\otimes$ als

${\sigma }_{V,W}:\mathbb{P}(V)\times \mathbb{P}(W)\to \mathbb{P}(V\otimes W),([v],[w])\mapsto [v\otimes w]$.

Eigenschaften

Die Segre-Einbettung ${\sigma }_{n,m}$ ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild ${\mathrm{\Sigma }}_{n,m}\subseteq {\mathbb{P}}^{(n+1)(m+1)-1}$ eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.

Somit ist die Segre-Varietät ${\mathrm{\Sigma }}_{n,m}$ tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal $𝕀({\mathrm{\Sigma }}_{n,m})$ lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf ${\mathbb{P}}^{(n+1)(m+1)-1}$ mit $Z_{0,0},\dots ,Z_{n,m}$, so erhalten wir

$𝕀({\mathrm{\Sigma }}_{n,m})=⟨Z_{a,b}{Z}_{c,d}-Z_{a,d}{Z}_{c,b}\mid 0\le a,c\le n,0\le b,d\le m⟩$.

Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der $2\times 2$ Minoren der Matrix $(Z_{ij}{)}_{ij}$ aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.

Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven Varietäten

Sind $X\subseteq {\mathbb{P}}^n$, $Y\subseteq {\mathbb{P}}^m$ (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch ${\sigma }_{n,m}(X\times Y)\subseteq {\mathbb{P}}^{(n+1)(m+1)-1}$ (lokal-)abgeschlossen.

Da ${\sigma }_{n,m}:X\times Y\to {\sigma }_{n,m}(X\times Y)$ bijektiv ist, kann damit auf $X\times Y$ die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion ${\sigma }_{n,m}$ überträgt.

Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät $X\times Y$ ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.

Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.

Beispiele

Quadrik

Im einfachsten Fall erhalten wir für $n=m=1$ eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach ${\mathbb{P}}^3$. Die Segre-Varietät ${\mathrm{\Sigma }}_{1,1}$ ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten ${\mathbb{P}}^3$ mit $Z_0,\dots ,Z_3$, so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

$\det \left(\begin{array}{cc}{Z}_0& Z_1\\ Z_2& Z_3\end{array}\right)=Z_0{Z}_3-Z_1{Z}_2.$

Literatur

• Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3.
• Karl-Heinz Fiesler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, Exercises 2.10., 3.16.