K3-Fläche

In der Mathematik sind K3-Flächen gewisse komplexe Flächen. Ein klassisches Beispiel ist die Lösungsmenge der Gleichung

$x^4+y^4+z^4+w^4=0$

im dreidimensionalen projektiven Raum. Die Bezeichnung „K3-Fläche“ geht auf André Weil zurück, „in honor of Kummer, Kähler, Kodaira, and the beautiful K2 mountain in Kashmir“.

Definition

Eine K3-Fläche ist eine einfach zusammenhängende, kompakte, komplexe Fläche, deren kanonisches Bündel trivial (äquivalent: auf der es eine nirgends verschwindende holomorphe $2$-Form gibt).

Eine äquivalente Definition ist, dass eine K3-Fläche eine kompakte, zusammenhängende, komplexe Fläche $X$ mit ${\mathrm{\Omega }}_X^2\simeq {𝒪}_X$ und $H^1(X,{𝒪}_X)=0$ ist.

Beispiele

• glatte Quartiken im $ℂP^3$ (d. h. durch ein homogenes Polynom vom Grad $4$ ohne kritische Punkte gegebene Hyperflächen)
• Kummer-Flächen (d. h. Quotienten einer abelschen Varietät modulo der Involution $a\mapsto -a$)
• entlang einer Sextik verzweigte Überlagerungen der komplex-projektiven Ebene

Eigenschaften

• Der Hodge-Zahlen einer K3-Fläche sind $h^{0,0}=1,h^{1,0}=h^{0,1}=0,h^{2,0}=h^{0,2}=1,h^{1,1}=20,h^{2,1}=h^{1,2}=0,h^{2,2}=1$. Insbesondere sind die Betti-Zahlen $b_0(X)=1,b_1(X)=0,b_2(X)=22,b_3(X)=0,b_4(X)=1$. Die Schnittform ist $E_8(-1{)}^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$, wobei $E_8$ die gleichnamige Form und $U$ die hyperbolische Schnittform vom Rang $2$ bezeichnet.
• Alle K3-Flächen sind diffeomorph zueinander.
• K3-Flächen tragen eine Hyperkähler-Metrik, insbesondere sind sie Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Weblinks

• D. Huybrechts: Lectures on K3 surfaces