Monotone Klasse

Eine monotone Klasse, auch monotones System genannt, ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften, welches in der Maßtheorie verwendet wird, um darauf weitere, komplexere Mengensysteme aufzubauen.

Definition

Sei $X$ eine nicht leere Menge. Eine nicht leere Teilmenge $ℳ$ von $P(X)$ heißt monotone Klasse,

wenn der Grenzwert jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge von Mengen aus $ℳ$ wieder in $ℳ$ enthalten ist.

Voll ausgeschrieben bedeutet dies:

• sind $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ Mengen aus $ℳ$ mit

$A_1\subset A_2\subset A_3\subset \cdots$,

dann ist auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ in $ℳ$

• sind $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ Mengen aus $ℳ$ mit

$A_1\supset A_2\supset A_3\supset \cdots$,

dann ist auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ in $ℳ$

Erzeugte monotone Klasse

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

Schnitte von beliebig vielen monotonen Klassen sind wieder monotone Klassen. Somit lässt sich für ein beliebiges Mengensystem $K$ die durch $K$ erzeugte monotone Klasse definieren als

${ℳ}_K:=\bigcap _{\genfrac{}{}{0ex}{}{ℳ\text{ ist Monotone Klasse}}{K\subset ℳ}}ℳ$.

Dies lässt sich als Hüllenoperator interpretieren.

Beziehung zu anderen Mengensystemen

• Jede monotone Klasse, die die Obermenge $X$ enthält und für die gilt: sind $B\subset A$ in der monotonen Klasse enthalten, so ist auch $A\mathrm{\setminus }B$ in der monotonen Klasse enthalten, ist ein Dynkin-System.
• Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten σ-Algebra.

Ringe und σ-Ringe

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind die Mengen $A_1,A_2,A_3,\dots$ im Ring enthalten, so ist auch

$B_n:=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen $B_n$ bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten, dieses ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer eine monotone Klasse.

Literatur

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Siehe auch

• Satz über monotone Klassen