Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition

Eine Teilmenge $𝒟$ der Potenzmenge $𝒫(\mathrm{\Omega })$ einer Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ heißt Dynkin-System über $\mathrm{\Omega }$, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

• Das System enthält die Grundmenge:

$\mathrm{\Omega }\in 𝒟$.

• Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

$A\in 𝒟⟹A^c\in 𝒟$.

• Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:

$\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset 𝒟$ disjunkt $⟹\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in 𝒟$

δ-Operator

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über $\mathrm{\Omega }$ ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher $ℰ\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ ein Mengensystem, dann wird durch

$\delta (ℰ):=\bigcap _{\genfrac{}{}{0ex}{}{ℰ\subseteq 𝒮}{𝒮\text{ Dynkin-System}}}𝒮.$

ein Dynkin-System $\delta (ℰ)$ definiert, genannt das von $ℰ$ erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches $ℰ$ enthält. $ℰ$ heißt Erzeuger von $\delta (ℰ)$.

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als $\lambda$-System auch als $\lambda$-Operator $\lambda (\cdot )$ notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind $d(ℰ)$ oder $𝒟(ℰ)$.

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei $\alpha$ eine Aussage, die für Mengen $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei $\mathrm{\Sigma }$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger $ℰ$, für dessen Elemente man $\alpha$ zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem $𝒟:=\{A\in \mathrm{\Sigma }:A\text{ erfüllt }\alpha \}$ und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von $ℰ$ einerseits $\delta (ℰ)=\sigma (ℰ)$, andererseits gilt aber auch $ℰ\subseteq 𝒟\subseteq \mathrm{\Sigma }$ und damit wegen $\mathrm{\Sigma }=\sigma (ℰ)=\delta (ℰ)\subseteq 𝒟$ schon $\mathrm{\Sigma }=𝒟$.

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

$ℳ=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\}$

auf der Grundmenge $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$. Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist $ℰ$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von $ℰ$ erzeugte σ-Algebra und das von $ℰ$ erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem $𝒟$ ist genau dann ein Dynkin-System, wenn $𝒟$ eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge $\mathrm{\Omega }$ enthält und in der für beliebige Mengen $A,B\in 𝒟$ mit $B\subset A$ auch $A\setminus B\in 𝒟$ gilt.

Literatur

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