σ-Ring

Ein σ-Ring oder auch σ-Mengenring ist ein spezielles Mengensystem, das eine wichtige Rolle in der Maßtheorie spielt. Ein σ-Ring ist ein σ-vereinigungsstabiles Mengensystem, das zusätzlich abgeschlossen bezüglich Differenzbildung ist.

Definition

Sei $\mathrm{\Omega }$ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem $ℛ$ auf $\mathrm{\Omega }$, also eine Menge von Teilmengen von $\mathrm{\Omega }$, heißt σ-Ring (über $\mathrm{\Omega }$), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $\mathrm{\varnothing }\in ℛ$: Der σ-Ring enthält die leere Menge.
2. $A_1,A_2,A_3,...\in ℛ\Rightarrow \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\in ℛ$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich abzählbaren Vereinigungen).
3. $A,B\in ℛ\Rightarrow A\setminus B\in ℛ$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Beispiele

• Einfaches Beispiel für einen σ-Ring ist $\{\mathrm{\varnothing }\}$, sie ist der kleinst mögliche σ-Ring.

• Ein weiteres Beispiel ist die Potenzmenge $𝒫(\mathrm{\Omega })$, sie ist der größt mögliche σ-Ring über einer gegebenen Menge $\mathrm{\Omega }$.

• Ist nun $𝒮$ ein beliebiges Mengensystem über der Menge $\mathrm{\Omega }$, so ist

${ℛ}_{𝒮}:=\bigcap _{\genfrac{}{}{0ex}{}{𝒮\subseteq {ℛ}^{\prime }}{\genfrac{}{}{0ex}{}{{ℛ}^{\prime }\text{ ist σ-Ring}}{\text{über }\mathrm{\Omega }}}}{ℛ}^{\prime }$

der von $𝒮$ erzeugte σ-Ring. Er ist der kleinste σ-Ring über $\mathrm{\Omega }$, der $𝒮$ enthält.

• Das System aller abzählbaren Teilmengen einer Grundmenge $\mathrm{\Omega }$, also das Mengensystem

$\{A\subseteq \mathrm{\Omega }\mid A\text{ ist endlich oder abzählbar unendlich }\}$,

ist ein σ-Ring über $\mathrm{\Omega }$. Bei überabzählbarer Grundmenge ist dieses System keine σ-Algebra.

Eigenschaften

In einem σ-Ring sind abzählbare Durchschnitte wieder im σ-Ring enthalten, denn es gilt

$\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\setminus \bigcup _{i=2}^{\mathrm{\infty }}(A_1\setminus A_i)$

für jede Folge $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ im σ-Ring.

Damit sind auch endliche Schnitte und Vereinigungen im σ-Ring enthalten. Ebenso ist für jede Mengenfolge $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ im σ-Ring $ℛ$ auch wieder Limes superior und Limes inferior der Mengenfolge wieder in $ℛ$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n\in ℛ$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n\in ℛ$.

Des Weiteren lässt sich jede abzählbare Vereinigung von beliebigen Mengen aus $ℛ$ als abzählbare Vereinigung von disjunkten Mengen aus $ℛ$ schreiben. Dies ist insbesondere für die Untersuchung von Mengenfunktionen auf σ-Additivität wichtig.

Operationen

Durchschnitte von σ-Ringen

Der Durchschnitt ${ℛ}_1\cap {ℛ}_2$ zweier σ-Ringe ${ℛ}_1$ und ${ℛ}_2$ über $\mathrm{\Omega }$ ist stets wieder ein σ-Ring. Denn sind $A,B\in {ℛ}_1\cap {ℛ}_2$, so ist

• $A\setminus B\in {ℛ}_1$, da $A,B\in {ℛ}_1$, sowie
• $A\setminus B\in {ℛ}_2$, da $A,B\in {ℛ}_2$.

Somit ist auch $A\setminus B\in {ℛ}_1\cap {ℛ}_2$, der Durchschnitt der σ-Ringe ist also differenzstabil. Die Stabilität bezüglich der abzählbaren Vereinigungen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Ringen über $\mathrm{\Omega }$, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: Ist $I$ eine beliebige Indexmenge und sind ${ℛ}_i$ für alle $i\in I$ σ-Ringe über derselben Grundmenge $\mathrm{\Omega }$, so ist der Schnitt aller dieser σ-Ringe wieder ein σ-Ring ${ℛ}_I$ über $\mathrm{\Omega }$:

${ℛ}_I:=\bigcap _{i\in I}{ℛ}_i$.

Vereinigungen von σ-Ringen

Die Vereinigung ${ℛ}_1\cup {ℛ}_2$ zweier σ-Ringe ${ℛ}_1$ und ${ℛ}_2$ über $\mathrm{\Omega }$ ist im Allgemeinen kein σ-Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Ringe

${ℛ}_1=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

sowie

${ℛ}_2=\{\mathrm{\varnothing },\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$

über $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3\}$, so ist

${ℛ}_1\cup {ℛ}_2=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.

Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es $\{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}$ nicht enthält, und somit auch kein σ-Ring.

Produkte von σ-Ringen

Sind ${ℛ}_1$ und ${ℛ}_2$ σ-Ringe über ${\mathrm{\Omega }}_1$ bzw. ${\mathrm{\Omega }}_2$, so ist das Produkt ${ℛ}_1\times {ℛ}_2$ von ${ℛ}_1$ und ${ℛ}_2$ im Allgemeinen kein σ-Ring (über ${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$) mehr. Denn betrachtet man den σ-Ring

$ℛ=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$,

über $\mathrm{\Omega }=\{1,2\}$, so enthält das Mengensystem $ℛ\times ℛ$ sowohl die Mengen

$A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ als auch $B=\{2\}\times \{2\}=\{(2,2)\}$.

Die Menge

$A\setminus B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$

ist jedoch nicht in $ℛ\times ℛ$ enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus $ℛ$ darstellen lässt. Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein σ-Ring.

Spur eines σ-Ringes

Die Spur eines σ-Ringes $ℛ$ bezüglich einer Menge $U$, also das Mengensystem

$ℛ{|}_U:=\{A\cap U\mid A\in ℛ\}$

ist immer ein σ-Ring, unabhängig von der Wahl von $U$.

Beziehung zu verwandten Strukturen

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Ein σ-Ring, der die Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ enthält, ist eine σ-Algebra (und damit auch eine Algebra). Somit ist jede σ-Algebra ein σ-Ring, die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch. Beispiel für einen σ-Ring, der keine σ-Algebra ist, ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte σ-Ring.

Ringe

Jeder σ-Ring ist ein Ring und damit auch ein Halbring und ein Mengenverband. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Beispiel eines Ringes, der kein σ-Ring ist, wäre das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzählbar unendlichen Grundmenge.

δ-Ringe

Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde, sind σ-Ringe immer auch stabil bezüglich abzählbaren Schnitten. Umgekehrt sind δ-Ringe jedoch im Allgemeinen keine σ-Ringe. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge $\mathrm{\Omega }$ und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

$ℰ:=\{E\subseteq \mathrm{\Omega }\mid |E|<\mathrm{\infty }\}$,

so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

Monotone Klassen

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Denn sind die Mengen $A_1,A_2,A_3,...$ im Ring enthalten, so ist auch

$B_n:=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen $B_n$ bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8