Konvergente Mengenfolge

Eine konvergente Mengenfolge ist eine Mengenfolge, für die der Limes superior und der Limes inferior der Mengenfolge übereinstimmen. Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie auf.

Definition

Gegeben sei eine Mengenfolge $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus einer Grundmenge $\mathrm{\Omega }$. Der Limes superior der Mengenfolge

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m\right)$

ist die Menge aller Elemente aus $\mathrm{\Omega }$, die in unendlich vielen $A_n$ liegen. Der Limes inferior der Mengenfolge

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcap _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m\right)$

ist die Menge aller Elemente aus $\mathrm{\Omega }$, die in fast allen (d. h. in allen bis auf endlich vielen) $A_n$ liegen.

Die Mengenfolge heißt dann konvergent, wenn ihr Limes inferior und ihr Limes superior übereinstimmen, also

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n$

ist.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n$

heißt dann der Limes der Mengenfolge oder Grenzwert der Mengenfolge. Man sagt dann, dass die Mengenfolge $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n$ konvergiert.

Beispiele

Als Beispiel betrachten wir die Mengenfolge

$A_n:=[0;1,5+0,5(-1{)}^n]$.

Für beliebiges $n$ ist immer

$\bigcap _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m=[0;1]\text{ und }\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m=[0;2]$.

Somit ist

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[0;1]=[0;1]\ne [0;2]=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[0;2]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n$.

Somit stimmen Limes superior und Limes Inferior nicht überein, die Mengenfolge konvergiert also nicht.

Konvergenz monotoner Mengenfolgen

Monoton fallende Mengenfolgen, also solche mit $A_1\supset A_2\supset A_3\cdots$ und monoton wachsende Mengenfolgen, also solche mit $A_1\subset A_2\subset A_3\cdots$, konvergieren immer. Eine Mengenfolge $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert gegen

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$,

wenn sie monoton fallend ist, und gegen

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$,

wenn sie monoton wachsend ist. Ist $A$ der Grenzwert einer monoton fallende Folge, so schreibt man auch $A_n\downarrow A$. Ist $A$ der Grenzwert einer monoton wachsenden Folge, so schreibt man auch $A_n\uparrow A$.

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz

Literatur

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