Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder $R$-Algebra (wobei $R$ ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ ein $R$-Modul und

$\cdot :A\times A\to A$

eine zweistellige Verknüpfung auf $A$, genannt „Multiplikation“.

Das Paar $(A,\cdot )$ heißt „$R$-Algebra“, wenn die Multiplikation $\cdot$ bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente $x,y,z\in A$ und jedes Ringelement $\lambda \in R$ gilt:

• $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z,$
• $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z,$
• $\lambda (x\cdot y)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y).$

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt. Wird Assoziativität hinzugefügt, handelt es sich um eine assoziative Algebra.

Algebrenhomomorphismus

Ein $R$-Algebrenhomomorphismus $\phi$ von $(A,\cdot )$ nach $(B,\cdot )$ ist ein R-Modulhomomorphismus von $A$ nach $B$, für den zusätzlich gilt, dass $\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)$ für alle $a,b\in A$ ist.

Spezielle Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Unter einer $R$-Algebra versteht man einen Ring $A$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus $\phi :R\to A$ derart, dass alle Elemente von $\phi (R)$ mit den Elementen aus $A$ vertauschbar sind: $\mathrm{\forall }r\in R,a\in A:\phi (r)a=a\phi (r)$

Eine Algebra $(A,\phi )$ bezeichnet man in der Regel einfach mit $A$. Man unterdrückt also den sogenannten Strukturhomomorphismus $\phi$ in der Notation. Hierbei wird dann $r\cdot a$ statt $\phi (r)a$ geschrieben, sodass der Strukturhomomorphismus durch $\phi :R\to A$, $r\mapsto r\cdot 1_A$ gegeben ist. Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist, ist es nicht möglich, die Elemente $r\in R$ mit ihren Bildern $r\cdot 1_A\in A$ zu „identifizieren“.

Eigenschaften

• Jede so definierte $R$-Algebra kann als $R$-Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als $\lambda a:=\alpha (\lambda )\cdot a$ setzt. Dagegen lässt sich nicht jede $R$-Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
• Ferner kann jede so definierte $R$-Algebra auch als $R$-Bimodul aufgefasst werden vermöge $r\cdot a\cdot r^{\prime }:=\alpha (r)\cdot a\cdot \alpha (r^{\prime })$.

Weitere Definitionen

• Eine $R$-Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als $R$-Modul endlich erzeugt ist. Es sei darauf hingewiesen, dass dies – im Gegensatz zur Verwendung des Wortes „endlich“ für Mengen oder auch für Gruppen oder Körper – nicht bedeutet, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist.
• Eine $R$-Algebra $A$ heißt endlich erzeugt, wenn es für ein $n\ge 0$ einen surjektiven Algebrenhomomorphismus $R[X_1,\dots ,X_n]⟶A$ gibt.

Algebrenhomomorphismus

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen $R$-Algebrenhomomorphismus $\phi$ von $(A,\alpha )$ nach $(B,\beta )$ als einen Ringhomomorphismus von $A$ nach $B$, für den zusätzlich gilt, dass $\phi \circ \alpha =\beta$ ist.

Beispiele

• Jeder Ring ist eine $\mathbb{Z}$-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen.
• Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
• Für einen kommutativen Ring $R$, der nicht der Nullring ist, ist der Polynomring $R[X]$ eine endlich erzeugte, aber keine endliche $R$-Algebra.

Literatur

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• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 6. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-662-62615-3.