Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)

In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition

Sei $B$ ein Ring, $A\subseteq B$ ein Unterring derart, dass $B$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n(n\in \mathbb{N})$ ist. Für $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in B^n$ heißt $D(x_1,x_2,\dots ,x_n):=\det ({\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x_i\cdot x_j{)}_{i,j})\in A$ die Diskriminante von $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

Wenn $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ eine $A$-Basis von $B$ darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in $A$ eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von $D(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ in $A$ erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit ${𝔇}_{B/A}$ bezeichnet und heißt Diskriminante von $B$ über $A$.

Eigenschaften und Anwendung

• Sei $L/K$ eine separable Körpererweiterung vom Grad $n(n\in \mathbb{N})$ und ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n$ die $n$ verschiedenen $K$-Algebrenmonomorphismen von $L$ in den algebraischen Abschluss von $K$. Dann gilt für eine $K$-Basis $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ von $L$:

$D(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\det {(({\sigma }_i(x_j){)}_{i,j})}^2\ne 0$

• Seien $K\subseteq L$ zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen $A\subseteq B$. Dann gilt für ein Primideal $𝔭\subseteq A$ das folgende: $𝔭\subseteq B$ ist genau dann verzweigt, wenn $𝔭\supseteq {𝔇}_{B/A}$ gilt. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von ${𝔇}_{B/A}$, vgl. Dedekindring).

Beispiel

Seien $A:=\mathbb{Q},B:=\mathbb{Q}[X]/(X^2+bX+c),b,c\in \mathbb{Q}$; $x$ bezeichne die Äquivalenzklasse von $X$ in $B$.

Somit $D_{B/A}(1,x)=\det \left(\begin{array}{cc}{\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(1)& {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x)\\ {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x)& {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x^2)\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}2& -b\\ -b& b^2-2c\end{array}\right)=b^2-4c$, was der Diskriminante des Polynoms $X^2+bX+c$ entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

${\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(1)={\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=2$

${\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x)={\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}\left(\begin{array}{cc}0& -c\\ 1& -b\end{array}\right)=-b$

${\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x^2)={\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(-b\cdot x-c)=-b\cdot {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(x)-c\cdot {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{B/A}(1)=b^2-2c$

Diskriminante eines Zahlkörpers

Sei $K$ ein Zahlkörper und ${𝒪}_K$ sein Ganzheitsring. Sei $b_1,\dots ,b_n$ eine Basis von ${𝒪}_K$ als $\mathbb{Z}$-Modul, und seien $\{{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n\}$ die Einbettungen von $K$ in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von $K$ ist das Quadrat der Determinante der $n\times n$--Matrix $B$, deren $(i,j)$-Eintrag ${\sigma }_i(b_j)$ ist:

${\mathrm{\Delta }}_K={(\det \left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1(b_1)& {\sigma }_1(b_2)& \cdots & {\sigma }_1(b_n)\\ {\sigma }_2(b_1)& \ddots & & ⋮\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ {\sigma }_n(b_1)& \cdots & \cdots & {\sigma }_n(b_n)\end{array}\right))}^2.$

Siehe auch

• Diskriminante

Literatur

• Falko Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.