Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle $x=0$ überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Heaviside-Funktion

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }:& ℝ\to \{0,1\}\\ & x\mapsto \{\begin{array}{cc}0:& x<0\\ 1:& x\ge 0\end{array}\end{array}$

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls $[0,+\mathrm{\infty })$ der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt $\mathrm{\Theta }(x)$ auch davon abweichende Notationen geläufig:

• $H(x)$, welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
• $s(x)$ und $\sigma (x)$ nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
• $u(x)$ nach der Bezeichnung Vorlage:EnS.
• Auch $ϵ(x)$ wird häufig verwendet.
• In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol $1(x)$.

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von $x=0$ den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle $x=0$ kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Theta }}_c:& ℝ\to 𝕂\\ & x\mapsto \{\begin{array}{cc}0:& x<0\\ c:& x=0\\ 1:& x>0\end{array}\end{array}$

mit $0,1,c\in 𝕂$. Es kann $𝕂$ also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch $𝕂=[0,1]\subset ℝ$ verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann ${\mathrm{\Theta }}_c(0)=c$ ist.

Durch die Wahl $c:=\frac{1}{2}$ und folglich ${\mathrm{\Theta }}_{\frac{1}{2}}(0)=\frac{1}{2}$ erreicht man, dass die Gleichungen

${\mathrm{\Theta }}_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{sgn}(x)+1)$ und damit auch

${\mathrm{\Theta }}_{\frac{1}{2}}(-x)=1-{\mathrm{\Theta }}_{\frac{1}{2}}(x)$

für alle reellen $x$ gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

$\mathrm{\Theta }(x)=-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +\mathrm{i}\epsilon }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\tau }\mathrm{d}\tau$

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

$\mathrm{\Theta }(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\pi }[\arctan \left(\frac{x}{\epsilon }\right)+\frac{\pi }{2}]$

Eigenschaften

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{\Theta }(x)=\delta (x)$

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man $\mathrm{\Theta }(x)$ und $\delta (x)$ geeignet approximiert, z. B. durch

${\mathrm{\Theta }}_{\epsilon }(x):=\{\begin{array}{cc}0& x<(-\epsilon )\\ (\frac{1}{2}+\frac{x}{2\epsilon })& |x|\le \epsilon \\ 1& x>\epsilon ,\end{array}$

sowie

${\delta }_{\epsilon }(x):=\{\begin{array}{cc}0& |x|>\epsilon \\ \frac{1}{2\epsilon }& |x|\le \epsilon ,\end{array}$

wobei jeweils der Grenzwert $\underset{\epsilon \searrow 0}{\lim }$ betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Integration

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen $x<0$ und $x\ge 0$ aus der Fallunterscheidung in der Definition:

• Für $x>0$ gilt

  $\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Theta }\left(t\right)\mathrm{d}t& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\{\begin{array}{cccc}0& \text{,}& & \text{falls }t<0\\ 1& \text{,}& & \text{falls }t\ge 0\end{array}\mathrm{d}t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\{\begin{array}{cccc}0& \text{,}& & \text{falls }t<0\\ 1& \text{,}& & \text{falls }t\ge 0\end{array}\mathrm{d}t+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\{\begin{array}{cccc}0& \text{,}& & \text{falls }t<0\\ 1& \text{,}& & \text{falls }t\ge 0\end{array}\mathrm{d}t\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}0\mathrm{d}t+\underset{0}{\overset{x}{\int }}1\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}1\mathrm{d}t=[t{]}_0^x=x\end{array}$

• Für $x\le 0$ tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt

  $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Theta }\left(t\right)\mathrm{d}t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\{\begin{array}{cccc}0& \text{,}& & \text{falls }t<0\\ 1& \text{,}& & \text{falls }t\ge 0\end{array}\mathrm{d}t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}0\mathrm{d}t=0$.

Zusammengenommen gilt also

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Theta }\left(t\right)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{cccc}0& \text{,}& & \text{falls }x\le 0\\ x& \text{,}& & \text{falls }x>0\end{array}$

beziehungsweise

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Theta }\left(t\right)\mathrm{d}t=\max \{0,x\}$.

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

$\int \mathrm{\Theta }\left(t\right)\mathrm{d}t=\max \{0,x\}+C$.

Siehe auch

• Sprungantwort
• Schwellenwert (Elektronik), Schwellenwertverfahren
• Rechteckfunktion
• Föppl-Klammer
• Vorzeichenfunktion
• Fermi-Verteilung

Weblinks

• Vorlage:MathWorld